Décrire un mouvement : vitesse, accélération, Frenet

Repérer un point mobile

Objectif bac : définir le système, le référentiel et le vecteur position

Pour décrire un mouvement, on commence toujours par deux choix, à écrire sur la copie :

le système : l'objet étudié, souvent modélisé par un point matériel M (son centre de masse) ;
le référentiel : l'objet de référence par rapport auquel on décrit le mouvement, muni d'un repère d'espace \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) et d'une horloge. Exemples : référentiel terrestre (le sol, le laboratoire), géocentrique, héliocentrique.

Le mouvement dépend du référentiel : la valve d'une roue de vélo décrit un cercle dans le référentiel du vélo, mais une courbe en arches (cycloïde) dans le référentiel terrestre.

Le vecteur position

À chaque date \(t\), la position de M est repérée par le vecteur position \(\overrightarrow{OM}(t)\). Ses coordonnées cartésiennes \(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\) sont les équations horaires du mouvement :

\[\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}\]\(x\), \(y\), \(z\) en mètres (m) ; \(t\) en secondes (s)

L'ensemble des positions successives de M forme la trajectoire : droite (mouvement rectiligne), cercle (mouvement circulaire), parabole, etc.

Chronophotographie et pointage vidéo. On enregistre les positions \(M_0\), \(M_1\), \(M_2\)… à des intervalles de temps égaux \(\tau\) (par exemple \(\tau = 40\) ms pour une vidéo à 25 images par seconde). L'écart entre deux points consécutifs renseigne directement sur la rapidité du mouvement : points qui s'écartent = le mobile va de plus en plus vite.

Le vecteur vitesse

Objectif bac : définir \(\vec{v}\) comme la dérivée de \(\overrightarrow{OM}\) et le construire sur une chronophotographie

Le vecteur vitesse d'un point M est la dérivée par rapport au temps de son vecteur position :

\[\vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\]coordonnées : \(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\), \(v_y = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\), \(v_z = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\) ; norme \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\) en m·s⁻¹

Caractéristiques du vecteur vitesse : il est tangent à la trajectoire au point M, orienté dans le sens du mouvement ; sa norme \(v\) est la vitesse instantanée, en m·s⁻¹ (\(1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 3{,}6\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}\)).

Méthode : établir les coordonnées de \(\vec{v}\) par dérivation

ExempleUn point M a pour équations horaires \(x(t) = 2{,}0\,t\) et \(y(t) = -4{,}9\,t^2 + 3{,}0\,t\) (unités SI). On dérive chaque coordonnée : \(v_x(t) = 2{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(v_y(t) = -9{,}8\,t + 3{,}0\). À \(t = 0\) : \(v = \sqrt{2{,}0^2 + 3{,}0^2}\) \(\approx 3{,}6\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

Rappels de dérivation utiles : \((k)' = 0\) ; \((k\,t)' = k\) ; \((k\,t^2)' = 2k\,t\) ; \((\cos\omega t)' = -\omega\sin\omega t\) ; \((\sin\omega t)' = \omega\cos\omega t\).

Construction sur une chronophotographie

Sur un enregistrement, on ne connaît pas \(x(t)\) : on approche la dérivée par un taux de variation sur deux intervalles qui encadrent le point \(M_i\) (méthode des points encadrants) :

\[\vec{v}_i \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}\]norme : \(v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}\) ; direction : celle de la corde \(M_{i-1}M_{i+1}\), quasi tangente en \(M_i\)

Chronophotographie d'un lancer : construis le vecteur vitesse

Touche un point de la chronophotographie (ou utilise Point précédent / suivant), puis avance avec Étape suivante. Une balle est lancée ; une image est prise toutes les \(\tau = 40\) ms ; un carreau du quadrillage mesure 10 cm.

positions de la ballecorde \(M_{i-1}M_{i+1}\)vecteur vitesse \(\vec{v}_i\)

Point M3

Étape 0 / 3

Distance \(M_{i-1}M_{i+1}\)

–

Durée \(2\tau\)

0,080 s

Vitesse \(v_i\)

–

Choisis un point, puis clique sur Étape suivante.

Méthode bac : tracer un vecteur vitesse sur une chronophotographie

Repérer \(M_i\) et ses deux voisins \(M_{i-1}\) et \(M_{i+1}\).
Mesurer la distance \(M_{i-1}M_{i+1}\) sur le document et la convertir en mètres avec l'échelle des longueurs.
Calculer \(v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}\) (attention : \(2\tau\), deux intervalles).
Tracer en \(M_i\) un vecteur parallèle à la corde, dans le sens du mouvement, de longueur donnée par l'échelle des vitesses (par exemple 1 cm pour 1 m·s⁻¹).

Le vecteur accélération

Objectif bac : définir \(\vec{a}\) comme la dérivée de \(\vec{v}\) et établir ses coordonnées

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, c'est-à-dire la dérivée seconde du vecteur position :

\[\vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^2}\]coordonnées : \(a_x = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\), \(a_y = \dfrac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\) ; norme en m·s⁻²

\(\vec{a}\) traduit toute variation du vecteur vitesse : variation de sa norme (le mobile accélère ou ralentit) et/ou de sa direction (la trajectoire tourne). Un mobile qui tourne à vitesse constante a donc une accélération non nulle.

Exemple (suite)Avec \(v_x = 2{,}0\) et \(v_y = -9{,}8\,t + 3{,}0\) : \(a_x = 0\) et \(a_y = -9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Le vecteur accélération est constant, vertical, vers le bas, de norme \(9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) : c'est la signature d'une chute libre.

Construction sur une chronophotographie

On applique la même idée un cran plus haut : on construit \(\vec{v}_{i-1}\) et \(\vec{v}_{i+1}\), on les reporte à partir d'un même point, et le vecteur \(\Delta\vec{v} = \vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}\) qui joint leurs extrémités donne :

\[\vec{a}_i \approx \frac{\vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}}{2\tau}\]\(\vec{a}_i\) a la direction et le sens de \(\Delta\vec{v}\) ; il est représenté en \(M_i\) avec une échelle d'accélération

Même lancer : construis le vecteur accélération

Choisis un point \(M_i\) puis avance étape par étape. Observe : quel que soit le point choisi, le vecteur accélération obtenu est-il le même ?

\(\vec{v}_{i-1}\) et \(\vec{v}_{i+1}\)\(\Delta\vec{v}\) puis \(\vec{a}_i\)

Point M3

Étape 0 / 4

\(v_{i-1}\)

–

\(v_{i+1}\)

–

\(\Delta v\)

–

Accélération \(a_i\)

–

Pour construire \(\vec{a}\) en \(M_i\), on a besoin des vecteurs vitesse aux deux points voisins.

À ne pas confondre. Sur la chronophotographie, \(\vec{v}\) change à chaque point (direction et norme), alors que \(\vec{a}\) reste le même : environ \(9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), vertical, vers le bas. L'accélération ne « suit » pas la trajectoire.

Mouvements rectilignes

Objectif bac : reconnaître un mouvement rectiligne uniforme ou uniformément accéléré

Pour un mouvement sur une droite (axe \(Ox\)), tout se lit sur une seule coordonnée : \(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\) est la pente (coefficient directeur de la tangente) de la courbe \(x(t)\), et \(a_x = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\) est la pente de la courbe \(v_x(t)\).

Rectiligne uniforme

Vecteur vitesse constant : \(\vec{a} = \vec{0}\). Équation horaire \(x(t) = v_0\,t + x_0\) : droite. Points de la chronophotographie régulièrement espacés.

Rectiligne uniformément accéléré

\(\vec{a}\) constant, colinéaire à la trajectoire : \(v_x(t) = a_x\,t + v_{0}\) et \(x(t) = \tfrac{1}{2}a_x\,t^2 + v_{0}\,t + x_0\). Si \(\vec{a}\) et \(\vec{v}\) sont de même sens, le mobile accélère ; de sens opposés, il ralentit (mouvement uniformément ralenti).

Une voiture sur une route droite : la vitesse est la pente de \(x(t)\)

Choisis un mouvement, appuie sur Lecture (ou déplace le curseur du temps). La tangente orange sur \(x(t)\) a pour pente \(v_x\) ; la tangente violette sur \(v_x(t)\) a pour pente \(a_x\). Une marque est déposée sur la route toutes les 0,5 s.

Date \(t\)0,00 s

Position \(x\)

–

Vitesse \(v_x\) (pente de \(x\))

–

Accélération \(a_x\) (pente de \(v_x\))

–

Démarrage : les marques s'écartent de plus en plus, la courbe \(x(t)\) est une parabole et \(v_x(t)\) une droite croissante.

Remonter de l'accélération à la position

Souvent, on connaît \(\vec{a}\) (au chapitre suivant, grâce à la deuxième loi de Newton) et il faut retrouver \(\vec{v}\) puis \(\overrightarrow{OM}\). On cherche alors des primitives, et on détermine les constantes grâce aux conditions initiales \(v_x(0)\) et \(x(0)\).

Exemple : une voiture démarre\(a_x = 2{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) constante, \(v_x(0) = 0\), \(x(0) = 0\). Primitive : \(v_x(t) = 2{,}5\,t + C_1\) avec \(C_1 = v_x(0) = 0\). Nouvelle primitive : \(x(t) = 1{,}25\,t^2 + C_2\) avec \(C_2 = x(0) = 0\). À \(t = 4{,}0\) s : \(v_x = 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) (36 km·h⁻¹) et \(x = 20\) m.

Caractériser le vecteur accélération

Objectif bac : caractériser \(\vec{a}\) pour les mouvements rectiligne, rectiligne uniforme, rectiligne uniformément accéléré, circulaire, circulaire uniforme

Six mouvements, deux vecteurs : \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) en direct

Choisis un mouvement, lance la Lecture et compare les deux flèches. Pour chaque cas, demande-toi : \(\vec{a}\) est-il nul ? constant ? colinéaire ou perpendiculaire à \(\vec{v}\) ? Les points gris sont pris à intervalles de temps égaux.

vecteur vitesse \(\vec{v}\)vecteur accélération \(\vec{a}\)positions à intervalles de temps égaux

Vitesse de lecture× 0,75

\(v\)

–

\(a\)

–

Angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\)

–

Tableau de synthèse (à connaître)

Mouvement	Vecteur accélération \(\vec{a}\)
Rectiligne	colinéaire à la trajectoire (même direction que \(\vec{v}\)) ; norme et sens éventuellement variables
Rectiligne uniforme	\(\vec{a} = \vec{0}\) : le vecteur vitesse est constant
Rectiligne uniformément accéléré	constant, colinéaire à \(\vec{v}\) ; même sens que \(\vec{v}\) (accéléré) ou sens opposé (ralenti)
Circulaire	composante tangentielle \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\) et composante normale \(\dfrac{v^2}{R}\), dirigée vers le centre : \(\vec{a}\) pointe vers l'intérieur du cercle
Circulaire uniforme	centripète (perpendiculaire à \(\vec{v}\), vers le centre), de norme constante \(a = \dfrac{v^2}{R}\)
Parabolique (chute libre)	constant, vertical, vers le bas, \(\vec{a} = \vec{g}\) ; perpendiculaire à \(\vec{v}\) seulement au sommet

Mouvement circulaire et repère de Frenet

Objectif bac : citer et exploiter les coordonnées de \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) dans le repère de Frenet

Pour un mouvement circulaire de centre C et de rayon \(R\), on utilise un repère mobile, attaché au point M : le repère de Frenet \((M\,;\vec{u}_t,\vec{u}_n)\).

\(\vec{u}_t\) : vecteur unitaire tangent

Tangent à la trajectoire en M, orienté dans le sens du mouvement.

\(\vec{u}_n\) : vecteur unitaire normal

Perpendiculaire à \(\vec{u}_t\), dirigé de M vers le centre C du cercle.

\[\vec{v} = v\,\vec{u}_t \qquad \vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_t + \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_n\]\(a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\) (variation de la norme de \(v\)) ; \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\) (changement de direction) ; \(a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}\)

Mouvement circulaire uniforme : \(v\) constante, donc \(a_t = 0\) et \(\vec{a} = \dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_n\) : l'accélération est centripète. Si le point fait un tour en une durée \(T\) (la période), \(v = \dfrac{2\pi R}{T}\).

Une voiture dans un rond-point : accélère, freine, observe \(\vec{a}\)

Tu conduis : choisis Accélérer, Vitesse constante ou Freiner à tout moment. Regarde les composantes en pointillés : \(a_t\,\vec{u}_t\) (tangente) et \(a_n\,\vec{u}_n\) (vers le centre).

\(\vec{v}\)\(\vec{a}\) (composantes en pointillés)\(\vec{u}_t\)\(\vec{u}_n\)

Rayon \(R\)20 m

Vitesse \(v\)

–

\(a_t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\)

–

\(a_n = \frac{v^2}{R}\)

–

\(a\)

–

Que se passe-t-il quand plus rien ne fait tourner ?

Une balle attachée à une ficelle décrit un cercle. Au moment où l'on lâche la ficelle, plus rien ne la fait tourner. Vue de dessus (on ne s'intéresse qu'au mouvement horizontal), où part-elle ?

La fronde : prédis, puis lâche la balle

1. Fais ta prédiction. 2. Appuie sur Lâcher au moment de ton choix. 3. Compare la trajectoire obtenue à ta prédiction.

Ma prédiction : après le lâcher, la balle part…

\(\vec{v}\)\(\vec{a}\)positions toutes les 25 ms

Durée d'un tour \(T\)0,8 s

Vitesse \(v\)

–

Accélération \(a\)

–

La balle tourne (ficelle de 1,0 m). Fais ta prédiction puis lâche.

Un mouvement dans le plan : le tir

Objectif bac : réinvestir position, vitesse et accélération sur un mouvement plan

Un ballon est lancé avec une vitesse initiale \(\vec{v}_0\) inclinée d'un angle \(\theta\) au-dessus de l'horizontale ; on néglige l'action de l'air. Fais varier \(v_0\) et \(\theta\) et observe les deux vecteurs.

Simulateur de tir : \(\vec{v}\) change, \(\vec{a}\) ne change pas

Règle \(v_0\) et \(\theta\), puis Lancer. Utilise + 0,1 s pour avancer image par image et active Composantes pour voir \(v_x\) et \(v_y\).

\(\vec{v}\) (composantes en pointillés)\(\vec{a} = \vec{g}\)positions toutes les 0,1 s

Vitesse initiale \(v_0\)10,0 m·s⁻¹

Angle \(\theta\)50°

Date \(t\)

–

\(v_x\)

–

\(v_y\)

–

\(v\)

–

\(a\)

9,81 m·s⁻²

Ce qu'il faut retenir du tir. \(v_x\) reste constante, \(v_y\) diminue régulièrement (de \(9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) chaque seconde), s'annule au sommet puis devient négative. Au sommet, \(\vec{v}\) est horizontal mais pas nul, et \(\vec{a}\) vaut toujours \(\vec{g}\). L'explication (deuxième loi de Newton) est l'objet du chapitre 5.

Capacité numérique : tracer les vecteurs en Python

Objectif bac : représenter, à l'aide d'un langage de programmation, des vecteurs accélération

Le script ci-dessous applique la méthode des points encadrants à une liste de positions (obtenue par pointage vidéo ou, ici, calculée), puis trace les vecteurs avec la fonction quiver de matplotlib. Tu peux le modifier et l'exécuter directement dans la page.

Résultat attendu : \(a_x \approx 0\) et \(a_y \approx -9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Avec des positions issues d'un vrai pointage, les valeurs fluctuent d'un point à l'autre : les erreurs de pointage sont amplifiées par les deux divisions par \(2\tau\).

Pour comprendre le code : les tranches x[2:] - x[:-2]

x[2:] est la liste des positions à partir de \(M_2\), x[:-2] celle qui s'arrête deux points avant la fin. Leur différence, élément par élément, donne \(x_{i+1} - x_{i-1}\) pour chaque point intérieur : c'est exactement la méthode des points encadrants. Le tableau vx a donc deux valeurs de moins que x, et ax quatre de moins : on ne peut pas construire \(\vec{a}\) aux deux premiers ni aux deux derniers points.

Expérimental : pointer une vraie vidéo

Avec un logiciel de pointage (Tracker, Regressi, Python…), filme un objet en mouvement à côté d'un étalon de longueur (une règle de 1 m), pointe sa position image par image, puis exporte les colonnes \(t\), \(x\), \(y\). Ce sont exactement les données à placer dans le script.

De Galilée à Frenet. Galilée étudie la chute des corps vers 1600 ; Newton et Leibniz inventent le calcul différentiel, qui permet de définir la vitesse comme une dérivée. Le repère mobile porte le nom de Jean Frédéric Frenet, mathématicien français qui l'a publié en 1852.

Erreurs classiques à éviter

« La vitesse est constante, donc \(\vec{a} = \vec{0}\). » Faux si la direction change : en mouvement circulaire uniforme, \(\vec{a}\) est centripète. \(\vec{a} = \vec{0}\) seulement si le vecteur \(\vec{v}\) est constant (mouvement rectiligne uniforme).

Diviser par \(\tau\) au lieu de \(2\tau\) avec les points encadrants : entre \(M_{i-1}\) et \(M_{i+1}\), il s'écoule deux intervalles.

Oublier l'échelle des longueurs : une distance mesurée sur le document (en cm) doit être convertie en distance réelle (en m) avant de diviser par \(2\tau\).

Mélanger les échelles : l'échelle des longueurs, celle des vitesses et celle des accélérations sont trois échelles différentes, à lire dans l'énoncé.

Dériver la position et trouver une constante pour \(\vec{a}\) en oubliant \(t\) : la dérivée de \(4{,}9\,t^2\) est \(9{,}8\,t\), celle de \(9{,}8\,t\) est \(9{,}8\). On dérive une fois pour \(\vec{v}\), deux fois pour \(\vec{a}\).

Oublier la constante d'intégration en remontant de \(\vec{a}\) à \(\vec{v}\) : \(v_y(t) = -g\,t + v_{0y}\), et non \(-g\,t\). Les conditions initiales fixent les constantes.

Calculer \(\dfrac{v^2}{R}\) avec \(v\) en km·h⁻¹ : on convertit d'abord en m·s⁻¹ (diviser par 3,6).

Croire que l'objet lâché part « vers l'extérieur » selon le rayon : il part selon la tangente, direction de \(\vec{v}\) au moment du lâcher.

Au sommet d'une trajectoire parabolique, « \(\vec{v} = \vec{0}\) et \(\vec{a} = \vec{0}\) » : seule \(v_y\) s'annule ; \(\vec{v}\) est horizontal et \(\vec{a} = \vec{g}\) reste inchangé.

Confondre \(a_t\) et \(a_n\) dans le repère de Frenet : \(a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\) (tangentielle), \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\) (normale, vers le centre).

À retenir

Vecteur vitesse

\(\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\) : tangent à la trajectoire, sens du mouvement, en m·s⁻¹. Chronophotographie : \(v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}\).

Vecteur accélération

\(\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) : traduit la variation de la norme et/ou de la direction de \(\vec{v}\), en m·s⁻². \(\vec{a}_i \approx \dfrac{\vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}}{2\tau}\).

Mouvements rectilignes

Uniforme : \(\vec{a} = \vec{0}\). Uniformément accéléré : \(\vec{a}\) constant, colinéaire à \(\vec{v}\) (même sens : accélère ; sens opposé : ralentit).

Mouvement circulaire

Frenet : \(\vec{v} = v\,\vec{u}_t\) et \(\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{R}\vec{u}_n\). Uniforme : \(\vec{a}\) centripète, \(a = \dfrac{v^2}{R}\), \(v = \dfrac{2\pi R}{T}\).

Formules essentielles

Vitesse

\(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)

Accélération

\(a_x = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\)

Norme

\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

Points encadrants

\(v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}\)

Frenet

\(a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\) ; \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\)

Circulaire uniforme

\(v = \dfrac{2\pi R}{T}\)

Fiche méthode bac : caractériser un mouvement

1

Préciser le système et le référentiel.

2

Décrire la trajectoire : rectiligne, circulaire, parabolique…

3

Étudier la vitesse : espacement des points ou valeurs de \(v\) (constante, croissante, décroissante).

4

Conclure avec le vocabulaire exact : « mouvement rectiligne uniforme », « circulaire accéléré »… et caractériser \(\vec{a}\) (direction, sens, norme).

Exercices type bac corrigés

Quatre exercices de difficulté croissante. Cherche d'abord seul au brouillon, puis compare avec la correction, rédigée comme une copie modèle.

Exercice 1 : la chute d'une balle filmée Niveau 1

Chronophotographie · points encadrants · environ 20 min

On filme la chute verticale d'une balle de tennis lâchée avec une petite vitesse vers le bas. Le pointage vidéo, avec un intervalle \(\tau = 40\) ms entre deux images, donne les positions suivantes sur un axe vertical \(Oy\) orienté vers le bas :

Point	\(M_0\)	\(M_1\)	\(M_2\)	\(M_3\)	\(M_4\)	\(M_5\)	\(M_6\)
\(y\) (cm)	0	4,8	11,1	19,1	28,5	39,6	52,2

Donnée : \(g = 9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).

Préciser le système et le référentiel. Quelle est la nature de la trajectoire ?
Sans calcul, la balle accélère-t-elle ? Justifier.
Calculer les vitesses \(v_2\) et \(v_4\) aux points \(M_2\) et \(M_4\).
En déduire la valeur de l'accélération \(a_3\) au point \(M_3\), et caractériser le vecteur \(\vec{a}_3\).
Comparer \(a_3\) à \(g\) (écart relatif). Quelle source d'erreur peut expliquer l'écart ?

Système : la balle, modélisée par un point. Référentiel : terrestre (le laboratoire), supposé galiléen. La balle se déplace sur l'axe vertical : la trajectoire est une droite verticale, le mouvement est rectiligne.
Les distances parcourues pendant chaque intervalle \(\tau\) augmentent (4,8 cm, puis 6,3 cm, 8,0 cm…) : la balle va de plus en plus vite, le mouvement est accéléré.
\(v_2 = \dfrac{M_1M_3}{2\tau}\) \(= \dfrac{(19{,}1 - 4{,}8)\times10^{-2}}{2\times0{,}040}\) \(= \dfrac{0{,}143}{0{,}080}\) \(\approx 1{,}79\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). De même, \(v_4 = \dfrac{(39{,}6 - 19{,}1)\times10^{-2}}{0{,}080}\) \(\approx 2{,}56\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Les vecteurs \(\vec{v}_2\) et \(\vec{v}_4\) sont verticaux, vers le bas : \(a_3 = \dfrac{v_4 - v_2}{2\tau}\) \(= \dfrac{2{,}5625 - 1{,}7875}{0{,}080}\) \(\approx 9{,}7\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). \(\vec{a}_3\) est vertical, dirigé vers le bas (même sens que \(\vec{v}\) : le mouvement est accéléré), de norme 9,7 m·s⁻².
Écart relatif : \(\dfrac{|9{,}7 - 9{,}81|}{9{,}81}\) \(\approx 1\,\%\). L'accord est très bon. L'écart vient surtout de la précision du pointage (positions arrondies au mm), amplifiée par les deux divisions par \(2\tau\) (et, dans une moindre mesure, des frottements de l'air).

Remarque : on a gardé les valeurs non arrondies de \(v_2\) et \(v_4\) pour calculer \(a_3\) ; avec 1,79 et 2,56, on trouverait 9,6 m·s⁻².

Exercice 2 : un lancer de ballon Niveau 1

Dérivation des équations horaires · sommet · environ 20 min

Dans le référentiel terrestre muni d'un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j})\), \(\vec{j}\) vertical vers le haut, un ballon lancé à la date \(t = 0\) a pour équations horaires (unités SI) :

\[x(t) = 4{,}0\,t \qquad y(t) = -4{,}9\,t^2 + 5{,}0\,t + 2{,}0\]

Donner les coordonnées du vecteur position à \(t = 0\). Interpréter.
Établir les coordonnées du vecteur vitesse, puis calculer la vitesse initiale \(v_0\).
Établir les coordonnées du vecteur accélération. Caractériser ce vecteur.
Déterminer la date \(t_S\) à laquelle le ballon atteint le sommet de sa trajectoire, puis l'altitude maximale.
Que valent \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) au sommet ? Quel angle forment-ils ?

\(x(0) = 0\) et \(y(0) = 2{,}0\) m : le ballon part de la verticale de O, à 2,0 m du sol (hauteur de la main).
\(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(v_y = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -9{,}8\,t + 5{,}0\). À \(t = 0\) : \(v_0 = \sqrt{4{,}0^2 + 5{,}0^2}\) \(\approx 6{,}4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
\(a_x = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = 0\) et \(a_y = \dfrac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = -9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Le vecteur accélération est constant : vertical, vers le bas (sens opposé à \(\vec{j}\)), de norme 9,8 m·s⁻².
Au sommet, la composante verticale de la vitesse s'annule : \(v_y(t_S) = 0\), soit \(t_S = \dfrac{5{,}0}{9{,}8}\) \(\approx 0{,}51\) s. Alors \(y_{\max} = -4{,}9\times0{,}510^2\) \(+\ 5{,}0\times0{,}510\) \(+\ 2{,}0\) \(\approx 3{,}3\) m.
Au sommet : \(\vec{v} = 4{,}0\,\vec{i}\) (horizontal, 4,0 m·s⁻¹, non nul) et \(\vec{a} = -9{,}8\,\vec{j}\) (inchangé). Ils sont perpendiculaires (angle de 90°).

Exercice 3 : le lancer du marteau Niveau 2

Mouvement circulaire uniforme · repère de Frenet · environ 25 min

Avant le lâcher, l'athlète fait tourner le marteau (une boule au bout d'un câble). On modélise le mouvement de la boule par un mouvement circulaire uniforme de rayon \(R = 1{,}7\) m dans un plan horizontal ; un tour dure \(T = 0{,}60\) s.

Donnée : \(g = 9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).

Calculer la vitesse \(v\) de la boule, en m·s⁻¹ puis en km·h⁻¹.
Écrire le vecteur accélération dans le repère de Frenet et justifier la simplification. Calculer sa norme et la comparer à \(g\).
Représenter qualitativement \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) en un point de la trajectoire.
À l'instant du lâcher, le câble ne retient plus la boule. Dans quelle direction part-elle, vue de dessus ?

La boule parcourt le périmètre \(2\pi R\) pendant \(T\) : \(v = \dfrac{2\pi R}{T}\) \(= \dfrac{2\pi\times1{,}7}{0{,}60}\) \(\approx 17{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), soit \(17{,}8\times3{,}6\) \(\approx 64\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}\).
\(\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_n\). Le mouvement est uniforme : \(v\) est constante, donc \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0\) et \(\vec{a} = \dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_n\). \(a = \dfrac{17{,}80^2}{1{,}7}\) \(\approx 1{,}9\times10^{2}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), soit \(\dfrac{186}{9{,}81}\) \(\approx 19\) fois \(g\).
\(\vec{v}\) est tangent au cercle, dans le sens de rotation ; \(\vec{a}\) est perpendiculaire à \(\vec{v}\), dirigé de la boule vers le centre du cercle (centripète).
Vue de dessus, la boule part selon la tangente au cercle au point de lâcher, c'est-à-dire dans la direction de \(\vec{v}\) à cet instant, et non selon le rayon. (En réalité, elle retombe ensuite sous l'effet de la pesanteur : on étudiera ce mouvement au chapitre 5.)

Exercice 4 : une voiture accélère dans un rond-point Niveau 3

Mouvement circulaire non uniforme · composantes de Frenet · raisonnement · environ 30 min

Une voiture, assimilée à un point, roule sur un rond-point circulaire de rayon \(R = 20\) m. Phase 1 : elle tourne à vitesse constante \(v_1 = 36\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}\). Phase 2 : la conductrice accélère ; la vitesse augmente régulièrement, de \(v_1\) à \(v_2 = 14\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) en \(\Delta t = 4{,}0\) s. On admet que les pneus ne peuvent pas assurer une accélération de norme supérieure à \(a_{\max} = 7{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) : au-delà, la voiture dérape.

Phase 1 : caractériser le vecteur accélération (direction, sens, norme).
Phase 2 : calculer la composante tangentielle \(a_t\) de l'accélération.
Au tout début de la phase 2, calculer \(a_n\), puis la norme \(a\). Représenter \(\vec{a}\) qualitativement.
La voiture peut-elle atteindre \(v_2\) sans déraper ? Si non, déterminer la vitesse, puis la date (depuis le début de la phase 2), à laquelle elle commence à déraper.

\(v_1 = \dfrac{36}{3{,}6} = 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Le mouvement est circulaire uniforme : \(\vec{a}\) est centripète (perpendiculaire à \(\vec{v}\), vers le centre du rond-point), de norme \(a = \dfrac{v_1^2}{R}\) \(= \dfrac{10^2}{20}\) \(= 5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) \(< a_{\max}\).
La vitesse augmente régulièrement : \(a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{v_2 - v_1}{\Delta t}\) \(= \dfrac{14 - 10}{4{,}0}\) \(= 1{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).
Au début : \(a_n = \dfrac{v_1^2}{R} = 5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), donc \(a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}\) \(= \sqrt{1{,}0^2 + 5{,}0^2}\) \(\approx 5{,}1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). \(\vec{a}\) pointe vers l'intérieur du virage et légèrement vers l'avant (composante tangentielle dans le sens du mouvement).
À la fin de la phase 2, on aurait \(a_n = \dfrac{14^2}{20}\) \(= 9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) et \(a \approx 9{,}9\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) \(> a_{\max}\) : la voiture dérape avant d'atteindre \(v_2\). Le dérapage commence quand \(a_t^2 + a_n^2 = a_{\max}^2\), soit \(a_n = \sqrt{7{,}0^2 - 1{,}0^2}\) \(\approx 6{,}93\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Alors \(v = \sqrt{a_n\,R}\) \(= \sqrt{6{,}93\times20}\) \(\approx 11{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) (42 km·h⁻¹). Comme \(v(t) = v_1 + a_t\,t\), cela se produit à \(t = \dfrac{11{,}8 - 10}{1{,}0}\) \(\approx 1{,}8\) s après le début de l'accélération.

Conclusion : dans un virage, c'est surtout la composante normale \(\dfrac{v^2}{R}\) qui limite la vitesse ; elle croît comme le carré de la vitesse.

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Quiz : vérifie ta compréhension

15 questions ciblées sur les erreurs les plus fréquentes au bac. Chaque réponse est expliquée.

1. En un point d'une trajectoire courbe, le vecteur vitesse est :

2. \(x(t) = 3t^2\) et \(y(t) = 5t\). Les coordonnées de \(\vec{v}(t)\) sont :

3. Sur une chronophotographie d'intervalle \(\tau\), la vitesse en \(M_3\) s'obtient par :

4. Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération est :

5. Dans le repère de Frenet, la composante tangentielle de l'accélération vaut :

6. Sur une chronophotographie, des points de plus en plus espacés indiquent :

7. Un satellite décrit une orbite circulaire uniforme : \(R = 7{,}0\times10^{6}\) m, \(v = 7{,}5\times10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). La norme de son accélération vaut environ :

8. Une voiture freine en ligne droite (vitesse qui diminue régulièrement). Son vecteur accélération est :

9. Une voiture roule à 72 km·h⁻¹ dans un virage circulaire de rayon 50 m, à vitesse constante. Son accélération vaut :

10. Une balle tourne au bout d'une ficelle (vue de dessus). On lâche la ficelle. La balle part :

11. On sait que \(a_y = -9{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) et \(v_y(0) = 5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Alors :

12. Au sommet de la trajectoire d'un ballon (frottements négligés) :

13. Le vecteur accélération d'un mobile est nul à chaque instant. Son mouvement est :

14. Une voiture accélère dans un virage circulaire. Son vecteur accélération pointe :

15. Une nacelle de manège tourne à vitesse constante sur un cercle de rayon \(R = 0{,}50\) m et fait un tour en \(T = 0{,}25\) s. Sa vitesse vaut :

Bilan de compétences : que sais-je faire ?

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