Deuxième loi de Newton et mouvement dans un champ uniforme
Cours interactif : relier les forces au mouvement, chute libre, condensateur plan, canon à électrons, accélérateur linéaire, aspects énergétiques
La deuxième loi de Newton
Objectif bac : utiliser \(\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}\) dans les deux sens
Centre de masse d'un système
Le centre de masse G d'un système est le point dont le mouvement est le plus simple à décrire : c'est lui qu'étudie la deuxième loi de Newton. Il est situé du côté où la masse est la plus concentrée : pour un marteau, G est proche de la tête métallique, pas au milieu du manche ; pour un objet homogène et symétrique (boule, palet), G est au centre géométrique. Au bac, la position de G est donnée : on doit seulement la justifier qualitativement par la répartition des masses.
Référentiel galiléen
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : un système isolé ou pseudo-isolé y est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Le choix dépend de la durée et de l'étendue du mouvement étudié :
référentiel terrestre : supposé galiléen pour des mouvements courts (quelques minutes au plus) au voisinage du sol : un ballon, une particule dans un appareil de laboratoire ;
référentiel géocentrique : pour les satellites et la Lune ;
référentiel héliocentrique : pour les planètes et les sondes interplanétaires.
Énoncé
\[\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}_G\]dans un référentiel galiléen ; \(m\) masse du système (constante) en kg ; forces en newtons (N) ; \(\vec{a}_G\) accélération du centre de masse en m·s⁻²
Conséquence immédiate : \(\vec{a}_G\) a toujours la même direction et le même sens que la somme des forces \(\sum\vec{F}_{\text{ext}}\). Ce n'est pas le cas de la vitesse : une balle lancée vers le haut monte alors que la force (le poids) est dirigée vers le bas.
Sens 1 : les forces sont connues
On en déduit l'accélération \(\vec{a}_G = \dfrac{\sum\vec{F}_{\text{ext}}}{m}\), puis, par primitives, la vitesse et la position.
Sens 2 : le mouvement est connu
On calcule \(\vec{a}_G\) (par dérivation ou sur une chronophotographie), puis la somme des forces \(\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}_G\).
Équilibre d'un système : si G est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme, \(\vec{a}_G = \vec{0}\), donc \(\sum\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}\) : les forces se compensent. La réciproque est vraie : forces qui se compensent ⟹ G immobile ou en mouvement rectiligne uniforme.
Un palet sur une table à coussin d'air
Fais glisser du doigt l'extrémité des forces \(\vec{F}_1\) et \(\vec{F}_2\) (ou utilise les curseurs), puis Lâcher le palet. Vue de dessus : le poids et la réaction de la table se compensent ; les positions sont repérées à intervalles de temps égaux.
Définir le système (ex. : {la balle}) et le référentiel (terrestre, supposé galiléen).
Faire le bilan des forces extérieures (poids, réaction, frottements, force électrique…) et les représenter.
Choisir un repère adapté (axes, origine, orientation) et le dessiner.
Écrire \(\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}_G\), puis projeter sur chaque axe.
En déduire les coordonnées de \(\vec{a}_G\) (sens 1) ou de \(\sum\vec{F}_{\text{ext}}\) (sens 2).
Quiz d'étape : deuxième loi de Newton
1. Une valise avance à vitesse constante, en ligne droite, sur un tapis roulant. La somme des forces qui s'exercent sur elle est :
2. Un système de masse \(m = 2{,}0\) kg est soumis à des forces dont la somme a pour norme 6,0 N. Son accélération vaut :
3. Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen :
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
Objectif bac : établir les équations horaires, l'équation de la trajectoire, et montrer que le mouvement est plan
Au voisinage de la Terre, sur une zone de quelques kilomètres, le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est uniforme : même direction (verticale), même sens (vers le bas) et même norme (\(g = 9{,}81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}\), soit \(9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\)) en tout point. Un objet qui n'est soumis qu'à son poids \(\vec{P} = m\,\vec{g}\) est en chute libre, même s'il monte.
Observer avant de démontrer
Un coup franc vers une cage réglementaire : barre transversale à 2,44 m, mur de joueurs de 1,85 m placé à 9,15 m du ballon. Règle la vitesse et l'angle de tir pour marquer, puis note tes réglages : tu pourras vérifier par le calcul une fois les équations établies.
Coup franc : passer le mur et rester sous la barre
Choisis \(v_0\), l'angle \(\alpha\) et la distance au but, puis appuie sur Tirer. Le réglage de départ passe au-dessus de la barre : à toi de trouver un tir gagnant.
vitesse \(\vec{v}\)accélération \(\vec{a} = \vec{g}\)position du ballon toutes les 0,1 s
Date \(t\)
0,00 s
Position \(x\)
0,0 m
Hauteur \(y\)
0,00 m
Vitesse \(v\)
–
Appuie sur Tirer.
Établir les équations horaires (méthode complète)
Situation : un projectile de masse \(m\) est lancé depuis le point O avec une vitesse \(\vec{v}_0\) faisant l'angle \(\alpha\) avec l'horizontale. On néglige les frottements de l'air. Repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) : \(\vec{i}\) horizontal dans le sens du tir, \(\vec{j}\) vertical vers le haut, \(\vec{k}\) horizontal, perpendiculaire au plan \((\vec{v}_0,\vec{g})\).
1
Système, référentiel, forces
Système : {projectile}, de centre de masse G. Référentiel terrestre, supposé galiléen. Seule force : le poids \(\vec{P} = m\,\vec{g}\).
2
Deuxième loi de Newton
\(\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}\) donne \(m\,\vec{g} = m\,\vec{a}\), donc \(\vec{a} = \vec{g}\).
La masse se simplifie : dans le vide, tous les corps tombent de la même façon, qu'il s'agisse d'une plume ou d'un boulet.
3
Coordonnées de l'accélération
\(\vec{g}\) est vertical vers le bas : \(a_x = 0\), \(a_y = -g\), \(a_z = 0\).
\(\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OG}}{\mathrm{d}t}\) ; on prend les primitives, avec \(\overrightarrow{OG}(0) = \vec{0}\) (départ en O) :
\[x(t) = v_0\cos\alpha\cdot t\]\[y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + v_0\sin\alpha\cdot t\]\[z(t) = 0\]équations horaires ; si le lancer part d'une hauteur \(h\), on ajoute \(h\) à \(y(t)\)
6
Le mouvement est plan
\(z(t) = 0\) à chaque instant : G reste dans le plan vertical \((O\,;\vec{i},\vec{j})\), qui contient \(\vec{v}_0\) et \(\vec{g}\). Le mouvement est plan. C'est la justification attendue au bac : \(a_z = 0\), \(v_{0z} = 0\) et \(z(0) = 0\).
7
Équation de la trajectoire
On élimine le temps : \(t = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}\), que l'on remplace dans \(y(t)\) :
\[y(x) = -\frac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + x\,\tan\alpha\]fonction du second degré en \(x\) : la trajectoire est une parabole, tournée vers le bas
Ne pas confondre les équations horaires \(x(t)\), \(y(t)\) (la position en fonction du temps) et l'équation de la trajectoire \(y(x)\) (la forme du chemin suivi, sans information sur le temps).
Exploiter les équations : sommet et portée
Ces résultats se redémontrent à partir des équations horaires ; ils ne sont pas à apprendre par cœur.
Sommet S de la trajectoireAu sommet, la vitesse est horizontale : \(v_y(t_S) = 0\), soit \(t_S = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}\). On remplace dans \(y(t)\) : \(y_S = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2\,g}\) (la flèche).
Portée (retour à la même altitude)On cherche \(x \neq 0\) tel que \(y(x) = 0\) : \(x\,\tan\alpha = \dfrac{g\,x^2}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\), d'où \(D = \dfrac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}\). Elle est maximale pour \(\alpha = 45°\).
Même vitesse, angles différents : quelle portée ?
Règle l'angle, puis Lancer. Chaque tir laisse sa trace : compare les portées. Essaie ensuite Tirs complémentaires et Tir à 45°.
Durée du vol
–
Flèche \(y_S\)
–
Portée \(D\)
–
Lance un premier tir.
Et les frottements ? Le modèle de la chute libre est valable pour un objet dense et compact, assez lent (pétanque, poids, balle sur une courte distance). Pour un ballon léger ou une plume, l'air freine fortement : la trajectoire n'est plus une parabole et la masse intervient.
Particule chargée dans un champ électrique uniforme
Objectif bac : discuter de l'influence de \(U\) et \(d\) sur le champ, établir les équations du mouvement d'une particule chargée
Le champ électrique d'un condensateur plan
Un condensateur plan est formé de deux plaques conductrices parallèles, séparées d'une distance \(d\), entre lesquelles on applique une tension \(U\) (la plaque positive est au potentiel le plus élevé). Entre les plaques, loin des bords, le champ électrique \(\vec{E}\) est uniforme :
direction : perpendiculaire aux plaques ;
sens : de la plaque positive vers la plaque négative ;
norme (expression donnée au bac) :
\[E = \frac{U}{d}\]\(E\) en volts par mètre (V·m⁻¹) ; \(U\) en volts (V) ; \(d\) en mètres (m)
Modification
Effet sur \(E\)
Pourquoi
On double \(U\)
\(E\) double
\(E\) est proportionnel à \(U\)
On double \(d\)
\(E\) est divisé par 2
\(E\) est inversement proportionnel à \(d\)
On inverse les bornes
\(\vec{E}\) change de sens
il va toujours de + vers −
On se déplace entre les plaques
aucun
le champ est uniforme
Une particule de charge \(q\) placée dans ce champ subit la force électrique \(\vec{F} = q\,\vec{E}\) : même sens que \(\vec{E}\) si \(q > 0\) (proton, ion positif), sens opposé si \(q < 0\) (électron).
Le poids est-il négligeable ?Pour un électron (\(m = 9{,}11\times10^{-31}\) kg) dans un champ \(E = 1{,}0\times10^{4}\ \text{V}\cdot\text{m}^{-1}\) : \(P = m\,g\) \(\approx 8{,}9\times10^{-30}\) N et \(F = e\,E\) \(= 1{,}6\times10^{-15}\) N. Le rapport \(\dfrac{F}{P} \approx 2\times10^{14}\) : le poids est totalement négligeable. On le justifie toujours par ce calcul d'ordre de grandeur.
Établir les équations horaires
Situation : une particule de charge \(q\) et de masse \(m\) entre en O, entre les plaques, avec une vitesse \(\vec{v}_0\) parallèle aux plaques. Repère : \(\vec{i}\) dans le sens de \(\vec{v}_0\), \(\vec{j}\) perpendiculaire aux plaques, orienté dans le sens de \(\vec{E}\).
1
Système, référentiel, forces
Système : {particule}. Référentiel du laboratoire (terrestre), supposé galiléen. Force : \(\vec{F} = q\,\vec{E}\) ; poids négligeable (voir le calcul ci-dessus).
2
Deuxième loi de Newton
\(q\,\vec{E} = m\,\vec{a}\), donc \(\vec{a} = \dfrac{q\,\vec{E}}{m}\) : un vecteur constant. Contrairement à la pesanteur, l'accélération dépend de la charge et de la masse.
3
Coordonnées et primitives
\(a_x = 0\) et \(a_y = \dfrac{q\,E}{m}\) (signe de \(q\)). Avec \(\vec{v}(0) = v_0\,\vec{i}\) et départ en O :
\[x(t) = v_0\,t \qquad y(t) = \frac{q\,E}{2\,m}\,t^2\]et \(z(t) = 0\) : mouvement plan, dans le plan contenant \(\vec{v}_0\) et \(\vec{E}\)
4
Trajectoire et déviation
Avec \(t = \dfrac{x}{v_0}\) : \(y(x) = \dfrac{q\,E}{2\,m\,v_0^2}\,x^2\), un arc de parabole, tant que la particule est entre les plaques.
À la sortie (\(x = L\)) : déviation \(y_S = \dfrac{q\,E\,L^2}{2\,m\,v_0^2}\) et direction de la vitesse \(\tan\beta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{q\,E\,L}{m\,v_0^2}\). Après les plaques, plus aucune force : mouvement rectiligne uniforme jusqu'à l'écran.
Déviation d'un faisceau entre les plaques d'un condensateur
Choisis la particule et la polarité, règle les curseurs, puis Envoyer. Observe le sens de \(\vec{F}\) par rapport à \(\vec{E}\), puis le point d'impact sur l'écran fluorescent placé 10 cm après les plaques.
Un électron (\(q < 0\)) est dévié vers la plaque positive, donc en sens inverse de \(\vec{E}\).
\(\vec{a} = \dfrac{q\,\vec{E}}{m}\) dépend de \(m\) : à vitesse d'entrée égale, un proton (1 836 fois plus lourd) est 1 836 fois moins dévié qu'un électron.
Convertir \(d\) et \(L\) en mètres avant tout calcul : \(d = 2{,}0\) cm \(= 2{,}0\times10^{-2}\) m.
Entre la sortie des plaques et l'écran, la trajectoire est une droite, pas la suite de la parabole.
Aspects énergétiques
Objectif bac : exploiter la conservation de l'énergie mécanique ou le théorème de l'énergie cinétique
Les équations horaires donnent tout (position, vitesse, date). Mais pour une question du type « avec quelle vitesse arrive-t-il ? », un raisonnement énergétique est souvent beaucoup plus rapide.
Théorème de l'énergie cinétique
Entre deux points A et B, la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces :
Si seules des forces conservatives travaillent (poids, force électrique), \(E_m = E_c + E_p\) reste constante : ce que perd \(E_p\), \(E_c\) le gagne.
Force
Travail de A à B
Énergie potentielle
Poids \(\vec{P} = m\,\vec{g}\)
\(W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(y_A - y_B)\)
\(E_p = m\,g\,y\) (axe \(y\) vers le haut)
Force électrique \(\vec{F} = q\,\vec{E}\)
\(W_{AB}(\vec{F}) = q\,U_{AB} = q\,(V_A - V_B)\)
\(E_p = q\,V\) (\(V\) : potentiel électrique)
Exemple : un caillou lancé depuis un pontLancé à \(v_0 = 8{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) depuis un pont de hauteur \(h = 12\) m, frottements négligés. Entre le lancer et l'arrivée dans l'eau, seul le poids travaille, et il travaille positivement (le caillou descend de \(h\)) : \(\tfrac12\,m\,v^2 - \tfrac12\,m\,v_0^2 = m\,g\,h\), donc \(v = \sqrt{v_0^2 + 2\,g\,h}\) \(= \sqrt{8{,}0^2 + 2\times9{,}81\times12}\) \(\approx 17\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). La masse se simplifie, et le résultat est le même quelle que soit la direction du lancer (vers le haut, horizontal ou vers le bas).
Énergies en direct : \(E_c\), \(E_p\) et \(E_m\)
Choisis un champ, puis Lecture. Les barres montrent les énergies à l'instant présent ; les courbes gardent leur évolution. Observe ce qui reste constant.
Quelle méthode choisir ? Énergie : pour une vitesse entre deux points (rapide, pas besoin de la trajectoire). Deuxième loi de Newton : pour une date, une position, une direction de vitesse ou la forme de la trajectoire.
Accélérer des particules chargées
Objectif bac : décrire le principe d'un accélérateur linéaire de particules chargées
Le canon à électrons : une seule tension accélératrice
Dans un canon à électrons (tube de laboratoire, microscope électronique), une cathode chauffée libère des électrons pratiquement sans vitesse. Une anode percée, portée à une tension \(U\) au-dessus de la cathode, crée entre elles un champ uniforme qui les accélère. Théorème de l'énergie cinétique entre la cathode C et l'anode A :
\[\tfrac12\,m\,v_A^2 - 0 = q\,U_{CA} = (-e)(V_C - V_A) = e\,U \quad\Rightarrow\quad v_A = \sqrt{\frac{2\,e\,U}{m}}\]l'électron gagne l'énergie \(e\,U\) ; avec \(U\) en volts, cela fait \(U\) électronvolts (1 eV = 1,60×10⁻¹⁹ J)
Canon à électrons : de la cathode à l'anode
Règle la tension accélératrice, puis Émettre. Compare la vitesse de sortie avec \(\sqrt{2eU/m}\) ; essaie avec un proton (la polarité s'inverse).
Énergie gagnée \(qU\)
–
Vitesse en sortie
–
Fraction de \(c\)
–
Appuie sur Émettre.
L'accélérateur linéaire : la même tension, plusieurs fois
Une tension unique de plusieurs millions de volts est impossible à maintenir (étincelles, claquage). Un accélérateur linéaire (« linac ») réutilise donc une tension modérée \(U\) un grand nombre de fois :
des tubes de glissement métalliques creux sont alignés ; à l'intérieur d'un tube, le champ est nul : la particule y a un mouvement rectiligne uniforme ;
entre deux tubes, dans un intervalle, règne un champ uniforme qui l'accélère : elle gagne \(q\,U\) d'énergie cinétique à chaque intervalle ;
la tension est alternative (période \(T\)) : pendant que la particule traverse un tube, la polarité s'inverse, si bien que l'intervalle suivant est à nouveau accélérateur ;
la particule va de plus en plus vite, mais doit passer exactement \(\dfrac{T}{2}\) dans chaque tube : les tubes sont donc de plus en plus longs.
\[E_c(n) = n\,q\,U \qquad v_n = \sqrt{\frac{2\,n\,q\,U}{m}} \qquad L_n = v_n\cdot\frac{T}{2} = \frac{v_n}{2f}\]particule initialement au repos ; \(n\) : nombre d'intervalles déjà traversés ; \(L_n\) : longueur du tube parcouru à la vitesse \(v_n\)
Accélérateur linéaire : synchroniser la tension et la particule
Appuie sur Lecture et regarde la couleur des tubes changer pendant que le proton les traverse. Modifie ensuite \(U\), \(f\) ou le nombre d'intervalles : les tubes se recalculent.
tube au potentiel +tube au potentiel −énergie cinétique
Intervalles franchis
0
Énergie \(E_c\)
0 keV
Vitesse
0
Appuie sur Lecture.
À retenir : l'énergie finale \(N\,q\,U\) ne dépend pas de la fréquence ; la fréquence fixe seulement la longueur des tubes (plus \(f\) est grande, plus l'accélérateur est compact). La vitesse croît comme \(\sqrt{n}\) : il faut 4 intervalles pour doubler la vitesse acquise au premier.
Capacité numérique : équations horaires et énergies en Python
Objectif bac : exploiter un pointage vidéo pour déterminer les équations horaires et étudier les énergies
On a pointé, toutes les 0,10 s, une balle de tennis (\(m = 58\) g) lancée depuis O. Le programme modélise \(x(t)\) par une fonction affine et \(y(t)\) par un polynôme de degré 2 (np.polyfit), en déduit \(g\), puis calcule \(E_c\), \(E_p\) et \(E_m\) à chaque point avec les vitesses par points encadrants.
À observer : le modèle donne \(x(t) = 7{,}71\,t\) et \(y(t) = -4{,}90\,t^2 + 9{,}19\,t\). Par identification avec \(y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + v_0\sin\alpha\cdot t\), on trouve \(g \approx 9{,}80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) et \(v_0 = \sqrt{7{,}71^2 + 9{,}19^2}\) \(\approx 12{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). \(E_m\) reste comprise entre 4,16 et 4,20 J (valeur théorique \(\tfrac12\,m\,v_0^2 \approx 4{,}18\) J) : les petits écarts viennent de l'arrondi des pointés.
À toi de jouer : le script est modifiable et s'exécute ici (bouton « Exécuter »). Remplace les listes x et y par tes propres pointés (logiciel de pointage vidéo), ou ajoute un frottement pour voir \(E_m\) diminuer. Pour l'enregistrer, copie-le dans Capytale ou EduPython. Au premier lancement, Python se télécharge (connexion internet nécessaire).
Erreurs classiques à éviter
« La force est dans le sens du mouvement. » Non : c'est l'accélération qui a le sens de \(\sum\vec{F}\). Une balle qui monte est soumise à un poids vers le bas.
Oublier les conditions initiales. Chaque primitive fait apparaître une constante : \(v_y(0) = v_0\sin\alpha\), \(y(0) = h\) si le lancer ne part pas du sol.
Se tromper de signe. Avec un axe \(Oy\) vers le haut, \(a_y = -g\). Toujours dessiner le repère avant de projeter.
Confondre \(y(t)\) et \(y(x)\). Les équations horaires dépendent du temps ; l'équation de la trajectoire ne fait plus apparaître \(t\).
« Au sommet, la vitesse est nulle. » Seulement pour un lancer vertical. Pour un tir oblique, \(v_y = 0\) mais \(v_x = v_0\cos\alpha\) : la vitesse est horizontale.
Dévier l'électron dans le sens de \(\vec{E}\). \(\vec{F} = q\,\vec{E}\) avec \(q = -e < 0\) : l'électron va vers la plaque positive.
Calculer avec des cm, des kV ou des km·h⁻¹. Tout convertir en unités SI : m, V, m·s⁻¹. Exemple : 90 km·h⁻¹ = 25,0 m·s⁻¹.
Écrire \(E = U\times d\). L'unité V·m⁻¹ rappelle la bonne formule : \(E = \dfrac{U}{d}\).
Prolonger la parabole après les plaques. Hors du condensateur, il n'y a plus de force : la trajectoire est une droite, tangente à la parabole au point de sortie.
Négliger le poids sans le justifier. Il faut comparer \(P = m\,g\) et \(F = |q|\,E\) par un calcul d'ordre de grandeur.
« Augmenter la fréquence du linac augmente l'énergie. » Non : \(E_c = N\,q\,U\). La fréquence ne fixe que la longueur des tubes.
À retenir
Deuxième loi de Newton
Dans un référentiel galiléen : \(\sum\vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}_G\). Équilibre ou mouvement rectiligne uniforme ⟺ \(\sum\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}\). Deux usages : des forces on déduit l'accélération, du mouvement on déduit les forces.
Champ de pesanteur
\(\vec{a} = \vec{g}\), indépendant de la masse. Équations horaires par deux primitives et les conditions initiales ; mouvement plan ; trajectoire parabolique.
Condensateur plan
\(\vec{E}\) uniforme, perpendiculaire aux plaques, de + vers −, \(E = \dfrac{U}{d}\). \(\vec{F} = q\,\vec{E}\), \(\vec{a} = \dfrac{q\,\vec{E}}{m}\) ; poids négligeable. Arc de parabole entre les plaques, droite ensuite.
Fiche méthode bac : établir les équations du mouvement
1
Système, référentiel galiléen, bilan des forces (justifier les forces négligées).
2
Deuxième loi de Newton : expression vectorielle de \(\vec{a}\).
3
Repère dessiné ; coordonnées de \(\vec{a}\), de \(\vec{v}_0\) et de la position initiale.
4
Primitives successives, constantes fixées par les conditions initiales : \(\vec{v}(t)\), puis \(\overrightarrow{OG}(t)\).
5
Exploiter : éliminer \(t\) (trajectoire), \(v_y = 0\) (sommet), \(y = 0\) ou \(x = L\) (impact, sortie). Vérifier l'ordre de grandeur et l'unité.
Exercices type bac corrigés
Cinq exercices de difficulté croissante. Cherche d'abord seul au brouillon, puis compare avec la correction, rédigée comme une copie modèle. Données communes : \(g = 9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\) ; \(e = 1{,}60\times10^{-19}\) C ; \(m_e = 9{,}11\times10^{-31}\) kg ; \(m_p = 1{,}67\times10^{-27}\) kg.
Exercice 1 : le service au tennis Niveau 1
Champ de pesanteur · équations horaires · environ 25 min
Un joueur frappe la balle (\(m = 58\) g) au point O situé à \(h = 2{,}20\) m du sol, avec une vitesse \(\vec{v}_0\) horizontale de valeur 90 km·h⁻¹. Repère : origine O, \(Ox\) horizontal dans le sens du mouvement, \(Oy\) vertical vers le haut. On néglige les frottements.
Montrer que \(\vec{a} = \vec{g}\) et donner ses coordonnées.
Établir les équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\).
Établir l'équation de la trajectoire.
Le filet, à 11,9 m de O, mesure 0,914 m de haut. La balle passe-t-elle au-dessus ?
Le carré de service s'étend de 11,9 m à 18,3 m de O. Le service est-il bon ?
Calculer, par une méthode énergétique, la vitesse de la balle quand elle touche le sol.
Système : {balle}. Référentiel terrestre, supposé galiléen. Seule force : le poids \(\vec{P} = m\,\vec{g}\) (frottements négligés). Deuxième loi de Newton : \(m\,\vec{g} = m\,\vec{a}\), donc \(\vec{a} = \vec{g}\) : \(a_x = 0\) et \(a_y = -g\).
\(v_0 = \dfrac{90}{3{,}6} = 25{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Primitives avec \(\vec{v}(0) = (v_0\ ;\ 0)\) : \(v_x = v_0\) et \(v_y = -g\,t\). Primitives avec \(x(0) = y(0) = 0\) : \(x(t) = v_0\,t\) et \(y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2\).
\(t = \dfrac{x}{v_0}\), d'où \(y(x) = -\dfrac{g}{2\,v_0^2}\,x^2\) : parabole de sommet O.
À \(x = 11{,}9\) m : \(y = -\dfrac{9{,}81\times11{,}9^2}{2\times25{,}0^2}\) \(\approx -1{,}11\) m. La balle est donc à \(2{,}20 - 1{,}11\) \(= 1{,}09\) m du sol. 1,09 m > 0,914 m : elle passe le filet, avec environ 17 cm de marge.
Au sol, \(y = -h\) : \(\tfrac12\,g\,t_s^2 = h\), \(t_s = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) \(= \sqrt{\dfrac{2\times2{,}20}{9{,}81}}\) \(\approx 0{,}670\) s, et \(x_s = v_0\,t_s\) \(\approx 16{,}7\) m. 11,9 m < 16,7 m < 18,3 m : le service est bon.
Seul le poids travaille, \(E_m\) se conserve : \(\tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12\,m\,v_0^2 + m\,g\,h\), d'où \(v = \sqrt{v_0^2 + 2\,g\,h}\) \(= \sqrt{25{,}0^2 + 2\times9{,}81\times2{,}20}\) \(\approx 25{,}8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Attention au repère : \(y(t)\) donne la position par rapport à O, pas par rapport au sol. On ajoute \(h\) pour comparer avec la hauteur du filet.
Exercice 2 : déviation d'un électron Niveau 2
Champ électrique uniforme · ordre de grandeur · environ 25 min
Un électron pénètre en O, à mi-distance des plaques horizontales d'un condensateur plan, avec une vitesse \(\vec{v}_0\) horizontale (\(v_0 = 2{,}0\times10^{7}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)). Plaques : longueur \(L = 4{,}0\) cm, écartement \(d = 2{,}0\) cm, tension \(U = 200\) V ; la plaque du haut est positive. Axe \(Oy\) vertical vers le haut.
Caractériser le champ \(\vec{E}\) et calculer sa norme.
Montrer que le poids de l'électron est négligeable devant la force électrique.
Établir les équations horaires et l'équation de la trajectoire.
Calculer la déviation \(y_S\) à la sortie des plaques. L'électron sort-il du condensateur ?
Calculer la vitesse de sortie avec le théorème de l'énergie cinétique.
\(\vec{E}\) est uniforme, vertical, dirigé de la plaque + (en haut) vers la plaque − : vers le bas. \(E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{200}{2{,}0\times10^{-2}}\) \(= 1{,}0\times10^{4}\ \text{V}\cdot\text{m}^{-1}\).
\(P = m_e\,g\) \(\approx 8{,}9\times10^{-30}\) N et \(F = e\,E\) \(= 1{,}6\times10^{-15}\) N, soit \(\dfrac{F}{P} \approx 2\times10^{14}\) : le poids est négligeable.
Système : {électron}, référentiel du laboratoire supposé galiléen, seule force \(\vec{F} = -e\,\vec{E}\), dirigée vers le haut. Newton : \(\vec{a} = -\dfrac{e\,\vec{E}}{m_e}\), d'où \(a_x = 0\) et \(a_y = +\dfrac{e\,E}{m_e}\) \(\approx 1{,}76\times10^{15}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}\). Avec \(\vec{v}(0) = v_0\,\vec{i}\) et départ en O : \(x(t) = v_0\,t\) et \(y(t) = \dfrac{e\,E}{2\,m_e}\,t^2\), donc \(y(x) = \dfrac{e\,E}{2\,m_e\,v_0^2}\,x^2\).
Durée de traversée : \(t_L = \dfrac{L}{v_0} = 2{,}0\times10^{-9}\) s. \(y_S = \dfrac{e\,E}{2\,m_e}\,t_L^2\) \(\approx 3{,}5\times10^{-3}\) m. 3,5 mm < \(\dfrac{d}{2}\) = 10 mm : l'électron sort, dévié de 3,5 mm vers la plaque positive.
Le travail de \(\vec{F}\) (constante, verticale) vaut \(W = F\,y_S\) \(\approx 1{,}6\times10^{-15}\times3{,}5\times10^{-3}\) \(\approx 5{,}6\times10^{-18}\) J. TEC : \(\tfrac12\,m_e\,v^2 - \tfrac12\,m_e\,v_0^2 = W\), donc \(v = \sqrt{v_0^2 + \dfrac{2W}{m_e}}\) \(\approx 2{,}03\times10^{7}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). La vitesse augmente légèrement.
Tu peux vérifier ces valeurs dans le simulateur de la section « Champ électrique » avec les mêmes réglages.
Exercice 3 : un accélérateur linéaire de protons Niveau 2
Théorème de l'énergie cinétique · synchronisation · environ 20 min
Des protons, initialement au repos, traversent \(N = 4\) intervalles accélérateurs soumis chacun à une tension \(U = 20\) kV. La tension est alternative, de fréquence \(f = 20\) MHz.
Quelle énergie cinétique un proton gagne-t-il à chaque intervalle ? Quelle est son énergie finale (en J et en keV) ?
Calculer la vitesse du proton après le 1ᵉʳ et après le 4ᵉ intervalle. Commenter.
Pourquoi les tubes de glissement sont-ils de plus en plus longs ? Calculer la longueur du tube parcouru après le 4ᵉ intervalle.
Que deviendrait cette longueur si l'on doublait la fréquence ? Et l'énergie finale ?
Dans chaque intervalle, seule la force électrique travaille : \(\Delta E_c = W = q\,U = e\,U\) \(= 1{,}60\times10^{-19}\times20\times10^{3}\) \(= 3{,}2\times10^{-15}\) J (20 keV). Après 4 intervalles : \(E_c = 4\,e\,U = 1{,}28\times10^{-14}\) J, soit 80 keV.
\(v_n = \sqrt{\dfrac{2\,n\,e\,U}{m_p}}\) : \(v_1 \approx 1{,}96\times10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(v_4 \approx 3{,}92\times10^{6}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Quatre fois plus d'énergie donnent seulement deux fois plus de vitesse : \(v\) croît comme \(\sqrt{n}\).
La particule doit passer une demi-période \(\dfrac{T}{2} = \dfrac{1}{2f}\) \(= 2{,}5\times10^{-8}\) s dans chaque tube, le temps que la tension s'inverse ; comme elle va de plus en plus vite, elle parcourt une distance de plus en plus grande. \(L_4 = v_4\cdot\dfrac{T}{2}\) \(\approx 3{,}92\times10^{6}\times2{,}5\times10^{-8}\) \(\approx 9{,}8\) cm.
\(\dfrac{T}{2}\) est divisé par 2, donc \(L_4\) aussi (4,9 cm) : l'accélérateur est plus compact. L'énergie finale \(4\,e\,U\) est inchangée.
Exercice 4 : le lancer du poids Niveau 2
Tir oblique depuis une hauteur · sommet · portée · énergie · environ 35 min
Un athlète lance un poids de masse \(m = 7{,}26\) kg. Le poids quitte sa main au point A, à \(h = 2{,}10\) m au-dessus du sol, avec une vitesse \(v_0 = 13{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) faisant un angle \(\alpha = 40°\) avec l'horizontale. Repère : origine O au sol à la verticale de A, \(Ox\) horizontal dans le sens du lancer, \(Oy\) vertical vers le haut. On néglige les frottements de l'air.
Établir les coordonnées du vecteur accélération, puis montrer que le mouvement est plan.
Établir les équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\).
Déterminer la date \(t_S\) et l'altitude \(y_S\) du sommet de la trajectoire.
Calculer la date d'impact au sol et la longueur du jet.
Calculer la vitesse d'impact par une méthode énergétique et vérifier qu'elle ne dépend pas de la masse.
L'athlète pense qu'il lancerait plus loin à 45°. Avec les mêmes \(v_0\) et \(h\), on trouve un jet de 19,1 m à 45°. Commenter.
Système : {poids}, référentiel terrestre supposé galiléen, seule force le poids. Newton : \(\vec{a} = \vec{g}\), donc \(a_x = 0\), \(a_y = -g\), \(a_z = 0\). Comme \(v_{0z} = 0\) et \(z(0) = 0\), deux primitives donnent \(z(t) = 0\) : le mouvement reste dans le plan vertical \((Oxy)\), il est plan.
\(v_{0x} = v_0\cos\alpha \approx 9{,}96\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) et \(v_{0y} = v_0\sin\alpha \approx 8{,}36\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Avec \(x(0) = 0\) et \(y(0) = h\) : \(x(t) = v_0\cos\alpha\cdot t\) et \(y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + v_0\sin\alpha\cdot t + h\).
Au sommet, \(v_y = -g\,t_S + v_0\sin\alpha = 0\) : \(t_S = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}\) \(\approx 0{,}85\) s. Alors \(y_S = h + \dfrac{(v_0\sin\alpha)^2}{2\,g}\) \(\approx 2{,}10 + 3{,}56\) \(\approx 5{,}66\) m.
Au sol, \(y = 0\) : \(-4{,}905\,t^2 + 8{,}356\,t + 2{,}10 = 0\). La racine positive est \(t \approx 1{,}93\) s (l'autre, négative, est rejetée). Longueur du jet : \(x = v_0\cos\alpha\cdot t\) \(\approx 9{,}96\times1{,}926 \approx 19{,}2\) m.
Seul le poids travaille : \(\tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12\,m\,v_0^2 + m\,g\,h\). \(m\) se simplifie : \(v = \sqrt{v_0^2 + 2\,g\,h}\) \(= \sqrt{13{,}0^2 + 2\times9{,}81\times2{,}10}\) \(\approx 14{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), quelle que soit la masse du poids.
19,1 m < 19,2 m : à 45°, il lance moins loin. La portée est maximale à 45° seulement quand le point d'arrivée est à la même altitude que le point de départ. Ici le poids part de 2,10 m au-dessus du sol : l'angle optimal est un peu inférieur à 45° (environ 42° pour ces valeurs).
Exercice 5 : le tube d'un oscilloscope Niveau 3
Accélération puis déviation · écran · raisonnement littéral · environ 40 min
Dans un tube cathodique, des électrons émis sans vitesse par la cathode sont accélérés par une tension \(U_0 = 1{,}50\) kV. Ils entrent ensuite en O, à mi-distance des plaques horizontales d'un condensateur (longueur \(L = 5{,}0\) cm, écartement \(d = 2{,}0\) cm, tension \(U = 150\) V), avec une vitesse \(\vec{v}_0\) horizontale. Un écran est placé à \(D = 20\) cm de la sortie des plaques. La plaque du haut est positive ; \(Oy\) est vertical vers le haut.
Exprimer puis calculer la vitesse \(v_0\) des électrons à la sortie du canon.
Montrer que la déviation à la sortie des plaques s'écrit \(y_S = \dfrac{U\,L^2}{4\,d\,U_0}\). Calculer \(y_S\). Que remarque-t-on ?
Quelle tension \(U\) maximale peut-on appliquer pour que le faisceau sorte des plaques ?
Calculer l'angle \(\beta\) que fait la vitesse avec l'horizontale à la sortie.
En déduire la position \(Y\) du spot sur l'écran par rapport à l'axe du tube. Comment varie \(Y\) avec \(U\) ?
Dans le canon, seule la force électrique travaille. TEC entre la cathode (vitesse nulle) et l'anode : \(\tfrac12\,m_e\,v_0^2 = e\,U_0\), d'où \(v_0 = \sqrt{\dfrac{2\,e\,U_0}{m_e}}\). Numériquement :\[v_0 = \sqrt{\frac{2\times1{,}60\times10^{-19}\times1{,}50\times10^{3}}{9{,}11\times10^{-31}}}\]\(v_0 \approx 2{,}30\times10^{7}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Comme dans l'exercice 2 : \(y(t) = \dfrac{e\,E}{2\,m_e}\,t^2\) avec \(E = \dfrac{U}{d}\) et \(t = \dfrac{L}{v_0}\) à la sortie, soit \(y_S = \dfrac{e\,U\,L^2}{2\,m_e\,d\,v_0^2}\). Or \(m_e\,v_0^2 = 2\,e\,U_0\) : \(y_S = \dfrac{e\,U\,L^2}{2\,d\times2\,e\,U_0}\) \(= \dfrac{U\,L^2}{4\,d\,U_0}\). Numériquement :\[y_S = \frac{150\times(5{,}0\times10^{-2})^2}{4\times2{,}0\times10^{-2}\times1{,}50\times10^{3}}\]\(y_S \approx 3{,}1\times10^{-3}\) m = 3,1 mm. La déviation ne dépend ni de la charge ni de la masse : toutes les particules de même charge accélérées par la même tension suivent la même trajectoire.
Il faut \(y_S < \dfrac{d}{2}\), soit \(U < \dfrac{2\,d^2\,U_0}{L^2}\) :\[U_{\max} = \frac{2\times(2{,}0\times10^{-2})^2\times1{,}50\times10^{3}}{(5{,}0\times10^{-2})^2} = 480\ \text{V}\]
Après les plaques, l'électron n'est soumis à aucune force : il va en ligne droite. \(Y = y_S + D\,\tan\beta\) \(= 3{,}1\times10^{-3} + 0{,}20\times0{,}125\) \(\approx 2{,}8\times10^{-2}\) m = 2,8 cm. Les deux termes sont proportionnels à \(U\) : \(Y\) est proportionnel à la tension \(U\), ce qui permet à l'oscilloscope de mesurer une tension par la position du spot.
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15 exercices corrigés sur ce chapitre, et un TP guidé sur la déviation d'un faisceau d'électrons.
12 questions ciblées sur les erreurs les plus fréquentes au bac. Chaque réponse est expliquée.
1. Dans un champ de pesanteur uniforme, frottements négligés, l'accélération d'un projectile dépend :
2. Un ballon est lancé en biais (\(\alpha = 30°\)). Au sommet de sa trajectoire, sa vitesse est :
3. Une bille est lancée depuis une hauteur \(h\), avec \(\vec{v}_0\) incliné de \(\alpha\) vers le haut (axe \(Oy\) vers le haut, O au sol). Alors \(y(t)\) vaut :
4. Un objet en chute libre voit son énergie potentielle diminuer de 50 J. Son énergie cinétique :
5. Entre les plaques d'un condensateur, \(U = 1{,}0\) kV et \(d = 2{,}0\) cm. Le champ vaut :
6. À tension \(U\) constante, on double l'écartement \(d\) des plaques. Le champ \(E\) :
7. Un électron entre horizontalement entre deux plaques ; \(\vec{E}\) est vertical, vers le bas. L'électron est dévié :
8. Après la sortie des plaques, et jusqu'à l'écran, la trajectoire de la particule est :
9. Un électron et un proton, initialement au repos, sont accélérés par la même tension \(U\). À la sortie :
10. Dans un accélérateur linéaire, on double la fréquence \(f\) de la tension (à \(U\) et \(N\) fixés). Conséquence :
11. Lancés et reçus à la même altitude avec la même vitesse, deux projectiles inclinés de 30° et de 60° :
12. Pour justifier qu'un mouvement dans un champ uniforme est plan, on montre que :
Résultat du quiz
bonnes réponses
note / 20
Pour aller plus loin
Recherche
Du linac au LHC
Les grands accélérateurs du CERN commencent tous par un accélérateur linéaire, avant d'injecter les particules dans des anneaux. Au LHC, les protons approchent la vitesse de la lumière : la mécanique de Newton ne suffit plus, il faut la relativité restreinte (l'énergie continue d'augmenter, mais la vitesse plafonne sous \(c\)).
Médecine
La radiothérapie
Les accélérateurs linéaires d'électrons sont l'outil principal de la radiothérapie : les électrons accélérés, ou les rayons X qu'ils produisent en frappant une cible, détruisent les cellules tumorales. Le principe est celui de ce chapitre : un gain d'énergie \(q\,U\) par étage.
Numérique
Ajouter les frottements
Avec la méthode d'Euler, quelques lignes de Python suffisent pour ajouter une force de frottement \(\vec{f} = -k\,\vec{v}\) : la portée diminue, la descente devient plus raide que la montée, comme pour un vrai ballon.
Histoire des sciences
L'expérience de Millikan (1909)
En équilibrant le poids de gouttelettes d'huile chargées par la force électrique d'un condensateur plan (\(\sum\vec{F} = \vec{0}\)), Robert Millikan a mesuré la charge élémentaire \(e\). Équilibre, condensateur, force électrique : tout le chapitre est réuni dans cette expérience, récompensée par le prix Nobel en 1923.