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Dévier un faisceau d'électrons — du tube cathodique au spectromètre de masse

Comment un simple champ électrique entre deux plaques permet de dessiner une courbe sur l'écran d'un oscilloscope à tube cathodique — et de comprendre pourquoi il ne suffit pas, seul, à trier des ions.

85 – 105 min Terminale — Spécialité Physique-Chimie 6 parties Physique des particules chargées
Partie 1 / 6
Objectifs du TP (en lien avec le programme de Terminale)
Fil rouge de ce TP : un électron traversant un condensateur plan subit une trajectoire parabolique, exactement comme un projectile dans le champ de pesanteur. Cette analogie mécanique, une fois maîtrisée, éclaire le fonctionnement d'un oscilloscope à tube cathodique et permet de comprendre les limites d'une déviation purement électrique dans un spectromètre de masse.
1
Mise en situation et mise en équation
≈ 15 min

Un faisceau d'électrons pénètre horizontalement dans un condensateur plan (deux plaques parallèles distantes de d = 2,0 cm, de longueur L = 6,0 cm), avec une vitesse initiale v₀ = 2,0×10⁷ m/s. Une tension U est appliquée entre les plaques, créant un champ électrique uniforme \(E = U/d\). On néglige le poids de l'électron.

\(a_y = \dfrac{e\,U}{m\,d}\)  (accélération verticale de l'électron ; e et m : charge élémentaire et masse de l'électron)
1
Établir l'expression de la déviation
En intégrant deux fois l'accélération \(a_y\) (mouvement uniformément accéléré selon Oy, uniforme selon Ox), montre que la déviation verticale à la sortie des plaques (\(x=L\)) vaut \(y_L = \dfrac{e\,U\,L^2}{2\,m\,d\,v_0^2}\).
1
\(v_y(t) = a_y\,t\) (intégration de \(a_y\) constant, \(v_y(0)=0\)). Sur Ox : \(x(t)=v_0\,t\) (vitesse constante).
2
\(y(t) = \tfrac12\,a_y\,t^2\). En sortie des plaques, \(x=L\), donc \(t_L = L/v_0\).
3
\(y_L = \tfrac12\,a_y\,\Big(\dfrac{L}{v_0}\Big)^2 = \tfrac12\,\dfrac{e\,U}{m\,d}\,\dfrac{L^2}{v_0^2} = \dfrac{e\,U\,L^2}{2\,m\,d\,v_0^2}\). La trajectoire est une portion de parabole, comme pour un projectile dans le champ de pesanteur (avec \(a_y\) qui joue le rôle de \(g\)).
4
Application numérique (électron, \(U = 100\ \text{V}\)) : \(y_L = \dfrac{1{,}60\times10^{-19}\times100\times(0{,}060)^2}{2\times9{,}11\times10^{-31}\times0{,}020\times(2{,}0\times10^{7})^2} \approx 4{,}0\times10^{-3}\ \text{m} = 4{,}0\ \text{mm}\).
2
Manipulation — Observer et mesurer la déviation
≈ 20 min · simulateur

Choisis une tension U (de 50 à 250 V : au-delà de 253 V, l'électron heurterait une plaque), observe la trajectoire, puis clique sur l'écran (ligne verticale à droite, placée à D = 3,0 cm des plaques) pour mesurer la position d'impact et la comparer à la valeur théorique.

Tension : 200
U max sans collision : 253 V
y théorique sur l'écran : —
Ta mesure (clic) : —
2
Effet de la tension
Compare la déviation sur l'écran pour \(U=50\ \text{V}\) et \(U=250\ \text{V}\) (rapport ×5). Le rapport des déviations obtenues est-il aussi ×5 ? Est-ce cohérent avec la formule établie en Partie 1 ?
✓
Oui : d'après \(y_L \propto U\) (à \(L\), \(d\), \(v_0\) fixés), multiplier \(U\) par 5 multiplie la déviation par exactement 5 : environ 4,0 mm à 50 V et 19,8 mm à 250 V sur l'écran. C'est une relation de proportionnalité stricte, pas juste une croissance. Après les plaques, la trajectoire est une droite de pente \(2y_L/L\), donc la déviation sur l'écran reste proportionnelle à \(U\).
2b
Quelle tension maximale avant la collision ?
Dans le simulateur, augmente U jusqu'à ce que l'électron touche une plaque.
a. Quelle condition sur la déviation \(y_L\) à la sortie des plaques l'électron doit-il respecter pour ne pas heurter une plaque ? (L'électron entre à égale distance des deux plaques.)
b. À partir de l'expression de \(y_L\) établie en Partie 1, exprime \(U_{\max}\), puis calcule-la avec \(L = 6{,}0\ \text{cm}\), \(d = 2{,}0\ \text{cm}\), \(v_0 = 2{,}0\times10^{7}\ \text{m/s}\).
c. Compare à ta valeur lue dans le simulateur.
a
L'électron entre à \(d/2\) de chaque plaque. Il ne heurte pas la plaque si sa déviation en sortie vérifie \(y_L \le \dfrac{d}{2}\).
b
Avec \(y_L = \dfrac{e\,U\,L^2}{2\,m\,d\,v_0^2}\), la condition \(y_L \le \dfrac{d}{2}\) donne : \[ U_{\max} = \frac{m\,d^2\,v_0^2}{e\,L^2} = \frac{9{,}11\times10^{-31}\times(2{,}0\times10^{-2})^2\times(2{,}0\times10^{7})^2}{1{,}60\times10^{-19}\times(6{,}0\times10^{-2})^2} \approx 253\ \text{V} \]
c
La valeur affichée dans le simulateur (253 V) est identique : au-delà, l'électron percute la plaque avant d'avoir atteint la sortie.
3
Vérification graphique — y = f(U) est-elle une droite ?
≈ 15 min

L'écran est placé à D = 3,0 cm après les plaques. Après les plaques, l'électron ne subit plus de force : sa trajectoire est une droite de pente \(\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_0} = \dfrac{2\,y_L}{L}\). La position d'impact vaut donc :

\(y_{\text{écran}} = y_L + D\,\dfrac{2\,y_L}{L} = y_L\Big(1+\dfrac{2D}{L}\Big) = 2\,y_L\)

Le graphique ci-dessous montre des mesures simulées (incertitude d'environ ±0,3 mm), la droite de régression (verte) et la droite théorique (pointillés).

Pente (régression) : —
Ordonnée à l'origine : —
Incertitude sur la pente u(a) : —
Pente théorique : 0,079 mm/V
Écart normalisé |a − ath| / u(a) : —
3
Interprétation
Le graphique \(y_{\text{écran}} = f(U)\) est une droite passant (presque) par l'origine. Que peux-tu en conclure sur le lien entre y et U ? Cette propriété serait-elle vraie si la relation contenait un terme constant (par exemple \(y = \dfrac{e\,U\,L^2}{2\,m\,d\,v_0^2} + 2\ \text{mm}\)) ? Compare enfin la pente mesurée à la pente théorique en utilisant l'incertitude u(a) et l'écart normalisé : les deux valeurs sont-elles compatibles (écart normalisé inférieur à 2) ?
✓
Une droite passant par l'origine confirme que \(y\) est strictement proportionnel à \(U\) (et pas seulement une fonction croissante de \(U\)). Avec un terme constant additif, le graphique serait toujours une droite, mais elle ne passerait pas par l'origine (ordonnée à l'origine non nulle) : relation affine, pas proportionnalité. La pente mesurée doit être compatible, aux incertitudes près, avec la pente théorique \(\dfrac{e\,L^2}{2\,m\,d\,v_0^2}\Big(1+\dfrac{2D}{L}\Big) \approx 0{,}079\ \text{mm/V}\).
4
Deux applications technologiques du même principe
≈ 15 min

Le tube cathodique d'un oscilloscope : un faisceau d'électrons balaye un écran phosphorescent. Deux paires de plaques perpendiculaires (l'une horizontale, l'autre verticale) dévient le faisceau, exactement comme dans ce TP. (Les anciens téléviseurs, eux, utilisaient des bobines créant un champ magnétique.)

Le spectromètre de masse : des ions sont d'abord accélérés par une tension \(U_{\text{acc}}\), puis traversent une zone de déviation. Peut-on trier les ions selon leur masse avec une déviation par un champ électrique seul ? Attention : l'intuition « le plus léger est le plus dévié » n'est vraie que si tous les ions entrent avec la même vitesse.

4
Raisonnement transposé — le spectromètre de masse
Deux ions de même charge \(q\) et de masses \(m_1 < m_2\) sont accélérés depuis le repos par la même tension \(U_{\text{acc}}\), puis entrent dans le condensateur du TP (mêmes \(U\), \(L\), \(d\)).
a. Avec le théorème de l'énergie cinétique, exprime la vitesse d'entrée \(v_0\) en fonction de \(q\), \(m\) et \(U_{\text{acc}}\).
b. Reporte dans \(y_L = \dfrac{q\,U\,L^2}{2\,m\,d\,v_0^2}\) : que devient \(y_L\) ? Les deux ions sont-ils séparés ?
c. Propose une grandeur ou un dispositif qui permettrait de les distinguer.
a
Départ au repos : \(\tfrac12\,m\,v_0^2 = q\,U_{\text{acc}}\), donc \(v_0 = \sqrt{\dfrac{2\,q\,U_{\text{acc}}}{m}}\) (le plus léger va plus vite).
b
\(m\,v_0^2 = 2\,q\,U_{\text{acc}}\), donc \(y_L = \dfrac{q\,U\,L^2}{2\,d\,(2\,q\,U_{\text{acc}})} = \dfrac{U\,L^2}{4\,d\,U_{\text{acc}}}\). La déviation ne dépend ni de \(m\) ni de \(q\) : les deux ions suivent la même trajectoire et ne sont pas séparés.
c
Il faut une grandeur qui dépend de \(m\). Par exemple la durée de traversée \(t_L = \dfrac{L}{v_0} = L\sqrt{\dfrac{m}{2\,q\,U_{\text{acc}}}} \propto \sqrt{m}\) (spectromètre à temps de vol), ou un champ magnétique \(B\) qui courbe la trajectoire sur un cercle de rayon \(R = \dfrac{m\,v_0}{q\,B} = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2\,m\,U_{\text{acc}}}{q}} \propto \sqrt{m}\).
5
Tâche complexe — Concevoir un oscilloscope à tube cathodique
≈ 20 min · rédaction

Contexte. Un ingénieur doit concevoir un tube cathodique dont l'écran mesure 20 cm de large. Les électrons arrivent avec \(v_0 = 2{,}0\times10^{7}\ \text{m/s}\), traversent des plaques de longueur \(L = 4{,}0\ \text{cm}\) espacées de \(d = 1{,}5\ \text{cm}\), puis parcourent encore \(D = 15\ \text{cm}\) avant d'atteindre l'écran (mouvement rectiligne uniforme après les plaques). Il souhaite qu'une tension maximale de \(U = 300\ \text{V}\) permette de dévier le faisceau jusqu'au bord de l'écran (10 cm depuis le centre).

5
Le cahier des charges est-il tenable ? (rédaction complète attendue)
Détermine si le dispositif décrit permet d'atteindre le bord de l'écran, puis, si ce n'est pas le cas, propose et justifie par un calcul une modification réaliste. Pense à vérifier que l'électron ne heurte pas une plaque.
Compétences visées : S'approprier · Analyser · Réaliser · Valider · Communiquer.
Coup de pouce (à n'ouvrir qu'après avoir cherché)Après les plaques, le mouvement est rectiligne uniforme : \(y_{\text{écran}} = y_L\Big(1+\dfrac{2D}{L}\Big)\).
S
S'approprier / Analyser. Les électrons subissent \(\vec F = -e\vec E\) (poids négligeable), champ uniforme entre les plaques : mouvement parabolique pendant la traversée (durée \(t_L = L/v_0\)), puis rectiligne uniforme jusqu'à l'écran. Condition : atteindre \(y_{\text{écran}} = 10\ \text{cm}\) sans heurter une plaque (\(y_L \le d/2\)).
R
Réaliser. \(a_y = \dfrac{eU}{md} \approx 3{,}5\times10^{15}\ \text{m/s}^2\) ; \(t_L = 2{,}0\times10^{-9}\ \text{s}\) ; \(y_L = \tfrac12 a_y t_L^2 \approx 7{,}0\ \text{mm}\) (< 7,5 mm : pas de collision à 300 V). Sur l'écran : \(y_{\text{écran}} = 7{,}0\times\Big(1+\dfrac{2\times15}{4{,}0}\Big) = 7{,}0\times8{,}5 \approx 60\ \text{mm}\) = 6,0 cm < 10 cm : le cahier des charges n'est pas tenu.
V
Valider les leviers. Tension : \(U_{\max} = \dfrac{m\,d^2 v_0^2}{e\,L^2} \approx 320\ \text{V}\) (c'est là que \(y_L = d/2\)), ce qui donne au mieux \(7{,}5\times8{,}5 \approx 64\ \text{mm}\) : augmenter U ne suffit pas. Il reste la distance plaques–écran : à 300 V il faut \(1+\dfrac{2D}{L} \ge \dfrac{100}{7{,}0} \approx 14{,}3\), soit \(D \gtrsim 27\ \text{cm}\). Valeur réaliste pour un tube, et \(U = 300\ \text{V} < U_{\max}\) : pas de collision.
C
Communiquer. Conclusion attendue, rédigée : « Avec D = 15 cm le faisceau n'atteint que 6,0 cm ; on porte D à environ 27 cm (ou plus) en gardant 300 V, ce qui reste sous la tension limite de 320 V. » Autres pistes acceptées si justifiées : augmenter L (mais \(U_{\max}\) baisse en \(1/L^2\)), réduire \(d\) (\(U_{\max}\) baisse en \(d^2\)), réduire \(v_0\) (\(U_{\max}\) baisse en \(v_0^2\)) : chaque option est à vérifier avec \(U
6
Auto-évaluation — Grille de compétences
≈ 5 min
CompétenceABCD
S'approprier
Extraire et reformuler les données, comprendre le problème posé
Analyser
Construire une stratégie : modèle (champ uniforme, 2ᵉ loi de Newton), grandeurs à relier
Réaliser
Établir les équations horaires, mener les calculs avec les bonnes unités
Valider
Contrôler les ordres de grandeur, vérifier les conditions (pas de collision), conclure au regard de la question
Communiquer
Rédiger une réponse structurée, avec les schémas et justifications nécessaires
Clique sur les pastilles A/B/C/D pour chaque compétence.
Pour aller plus loin : recherche comment un spectromètre de masse à secteur magnétique sépare les ions : pourquoi le rayon de courbure dépend-il de la masse alors que la déviation électrique, elle, n'en dépend pas ?
TP terminé — bravo !

Retourne au cours pour revoir le principe de l'accélérateur linéaire et les aspects énergétiques.

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