Radioactivité naturelle et équations nucléaires

nom = "potassium 40"
Z = 19
A = 40

N = A - Z

print(nom, ":", Z, "protons,", N, "neutrons,", A, "nucléons")
if N > Z:
    print("Ce noyau contient plus de neutrons que de protons.")
else:
    print("Ce noyau ne contient pas plus de neutrons que de protons.")

Résultats attendus. Potassium 40 : 19 protons, 21 neutrons. Calcium 40 : 20 protons, 20 neutrons (pas plus de neutrons). Uranium 238 : 92 protons, 146 neutrons.

Interprétation. Le potassium 40 et le calcium 40 ont le même nombre de nucléons : lors de la désintégration, un neutron du potassium s'est transformé en proton, avec émission d'un électron. Les noyaux lourds, comme l'uranium, contiennent beaucoup plus de neutrons que de protons.

Erreurs fréquentes. Écrire N = Z - A : on obtient −21, un nombre de particules négatif, ce qui est absurde.

noms = ["K-39", "K-40", "K-41", "Ca-40", "Ar-40", "Th-232", "U-235", "U-238"]
Z = [19, 19, 19, 20, 18, 90, 92, 92]
A = [39, 40, 41, 40, 40, 232, 235, 238]

for i in range(len(noms)):
    N = A[i] - Z[i]
    if Z[i] == 19:
        remarque = "isotope du potassium"
    else:
        remarque = ""
    print(noms[i], ": Z =", Z[i], "| N =", N, "| A =", A[i], "|", remarque)

Résultats attendus. K-39, K-40 et K-41 sont signalés (20, 21 et 22 neutrons). Ca-40 a 20 neutrons, Ar-40 en a 22, Th-232 en a 142, U-235 en a 143 et U-238 en a 146.

Interprétation. Les trois isotopes du potassium ont le même \(Z\) mais des nombres de neutrons différents. U-235 et U-238 sont aussi deux isotopes, de l'uranium cette fois : en modifiant la condition (Z[i] == 92), le programme les repère.

Erreurs fréquentes. Tester A[i] == 40 : on regrouperait K-40, Ca-40 et Ar-40, qui ne sont pas des isotopes (trois éléments différents).

import math
import matplotlib.pyplot as plt

noms = ["bois", "charbon", "pétrole", "U 235", "fusion D-T"]
E = [1.5e7, 3.0e7, 4.2e7, 8.2e13, 3.4e14]

for i in range(len(noms)):
    y = math.log10(E[i])
    plt.plot([i, i], [0, y], '-', color='orange', linewidth=18)
    plt.text(i - 0.35, y + 0.6 + 1.2 * (i % 2), noms[i])   # un nom sur deux plus haut : pas de chevauchement
    print(noms[i], ": log10(E) =", round(y, 1))

plt.title("Énergie libérée par 1 kg de combustible")
plt.xlabel("combustible")
plt.ylabel("log10(E en J)")
plt.xlim(-0.8, 5.2)
plt.ylim(0, 18)
plt.grid()
plt.show()

Résultats attendus. \(\log_{10}(E)\) vaut 7,2 (bois), 7,5 (charbon), 7,6 (pétrole), 13,9 (U 235, fission de l'uranium 235) et 14,5 (fusion D-T).

Interprétation. Entre le pétrole et l'uranium, il y a environ 6 graduations, soit un facteur \(10^{6}\) : la fission libère environ 2 millions de fois plus d'énergie par kilogramme que la combustion du pétrole. La fusion D-T fait encore environ 4 fois mieux que la fission. Les trois combustions sont très proches : ce sont toutes des transformations chimiques, qui mettent en jeu quelques eV par molécule, contre des MeV par noyau pour les transformations nucléaires.

Erreurs fréquentes. Tracer directement E[i] au lieu de son logarithme : seules les barres nucléaires seraient visibles, les combustibles chimiques paraîtraient nuls.

def manquant(A_av, Z_av, A_ap, Z_ap):
    A = sum(A_av) - sum(A_ap)
    Z = sum(Z_av) - sum(Z_ap)
    return A, Z

def nom(A, Z):
    if A == 1 and Z == 0:
        return "neutron"
    if A == 1 and Z == 1:
        return "proton"
    if A == 0 and Z == -1:
        return "électron"
    if A == 0 and Z == 1:
        return "positon"
    if A == 4 and Z == 2:
        return "particule alpha (noyau d'hélium)"
    return "noyau de numéro atomique " + str(Z)

# chaque réaction : [nom, A avant, Z avant, A après, Z après]
reactions = [
    ["K-40 -> Ca-40 + ?", [40], [19], [40], [20]],
    ["U-238 -> Th-234 + ?", [238], [92], [234], [90]],
    ["P-30 -> Si-30 + ?", [30], [15], [30], [14]],
    ["H-2 + H-3 -> He-4 + ?", [2, 3], [1, 1], [4], [2]],
    ["n + U-235 -> Ba-141 + Kr-92 + 2 n + ?", [1, 235], [0, 92], [141, 92, 1, 1], [56, 36, 0, 0]],
]
for r in reactions:
    A, Z = manquant(r[1], r[2], r[3], r[4])
    print(r[0], ": A =", A, "; Z =", Z, "->", nom(A, Z))

Résultats attendus.

• K-40 : \((0, -1)\), électron ;
• U-238 : \((4, 2)\), particule alpha ;
• P-30 : \((0, 1)\), positon ;
• fusion D-T : \((1, 0)\), neutron ;
• fission : \((1, 0)\), neutron : la réaction libère en tout 3 neutrons.

Interprétation. Deux lois suffisent pour compléter n'importe quelle équation nucléaire : conservation du nombre de nucléons et conservation de la charge. La ligne A, Z = manquant(...) range dans deux variables les deux valeurs renvoyées par la fonction.

Erreurs fréquentes. Oublier de compter les neutrons produits dans la fission : sans les deux 1 dans A_ap, on trouverait \(A = 3\), \(Z = 0\), un « noyau » qui n'existe pas.

m = 1.0
m_noyau = 3.90e-25
E_fission = 200 * 1.60e-13     # erreur 3 : 1 MeV = 1,60 × 10^-13 J

N = m / m_noyau                # erreur 4 : on divise la masse totale par celle d'un noyau
E = N * E_fission              # erreur 2 : nom de variable
m_charbon = E / 3.0e7

print("Énergie libérée :", round(E / 1e13, 2), "× 10^13 J")
print("Charbon équivalent :", round(m_charbon / 1000), "tonnes")   # erreur 1

Erreur 1 (bloquante). La parenthèse du dernier print n'est pas fermée : erreur de syntaxe.

Erreur 2 (bloquante). E_fision n'existe pas : NameError.

Erreur 3 (silencieuse). 1.60e13 au lieu de 1.60e-13 : l'énergie d'une fission serait \(3{,}2\times10^{15}\ \text{J}\), autant que la combustion de 100 000 tonnes de charbon, pour un seul noyau !

Erreur 4 (silencieuse). En multipliant, on obtient \(3{,}9\times10^{-25}\) « noyaux » : moins d'un noyau dans 1 kg, ce qui est absurde.

Résultat après correction. Énergie libérée : 8.21 × 10^13 J et Charbon équivalent : 2735 tonnes, en accord avec l'exercice 7.