Le sucre d'un soda : dosage par étalonnage

m = 51.94
V = 50.0

rho = m / V

print("Masse volumique :", round(rho, 4), "g/mL")
if rho > 0.998:
    print("Plus dense que l'eau pure : la solution contient des solutés.")
else:
    print("Pas plus dense que l'eau pure.")

Résultats attendus. Soda : 1,0388 g/mL, plus dense que l'eau. Étalon à 0 g/L (49,90 g) : 0,998 g/mL, « pas plus dense que l'eau pure ».

Interprétation. La masse volumique du soda dépasse celle de l'eau de 0,041 g/mL : chaque millilitre contient 41 mg de « masse en plus », due surtout au sucre dissous. Il faut encore l'étalonnage pour traduire cet écart en concentration.

Erreurs fréquentes. Écrire V / m : on obtient 0,963, une valeur inférieure à celle de l'eau, ce qui contredit le fait que le soda contient du sucre.

c = [0, 25, 50, 75, 100, 125]
m = [49.90, 50.39, 50.85, 51.36, 51.82, 52.32]
V = 50.0

rho = []
for i in range(len(c)):
    rho.append(round(m[i] / V, 4))
    print("c =", c[i], "g/L | rho =", rho[i], "g/mL")

for i in range(1, len(rho)):
    print("augmentation entre", c[i - 1], "et", c[i], "g/L :", round(rho[i] - rho[i - 1], 4), "g/mL")

Résultats attendus. \(\rho\) = 0,998 ; 1,0078 ; 1,017 ; 1,0272 ; 1,0364 ; 1,0464 g/mL. Augmentations : 0,0098 ; 0,0092 ; 0,0102 ; 0,0092 ; 0,0100 g/mL.

Interprétation. Tous les 25 g/L, la masse volumique augmente d'environ 0,0097 g/mL, à ± 0,0005 près : l'augmentation est régulière, ce qui annonce une relation linéaire entre \(\rho\) et \(c_m\). Les petites variations correspondent à des écarts de pesée de quelques centigrammes.

Erreurs fréquentes. Commencer la seconde boucle à 0 : pour i = 0, rho[i - 1] désigne le dernier élément de la liste en Python, et le premier écart affiché n'aurait aucun sens.

import matplotlib.pyplot as plt

c = [0, 25, 50, 75, 100, 125]
rho = [0.998, 1.0078, 1.017, 1.0272, 1.0364, 1.0464]
rho_soda = 1.0388

plt.plot(c, rho, 'o', color='red', label='étalons')
plt.plot([0, 125], [rho_soda, rho_soda], '--', color='green', label='soda')
plt.title("Masse volumique de solutions sucrées")
plt.xlabel("concentration en sucre (g/L)")
plt.ylabel("masse volumique (g/mL)")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Résultat attendu. Six points alignés, montant de 0,998 à 1,046 g/mL ; la ligne du soda croise l'alignement vers 105 g/L.

Interprétation. Les points sont pratiquement alignés : la masse volumique est une fonction affine de la concentration en sucre. La lecture graphique donne environ 105 g/L, une valeur que l'activité 4 va calculer précisément.

Erreurs fréquentes. Inverser c et rho : on obtiendrait \(c_m\) en fonction de \(\rho\), et la ligne horizontale du soda n'aurait plus de sens.

c = [0, 25, 50, 75, 100, 125]
rho = [0.998, 1.0078, 1.017, 1.0272, 1.0364, 1.0464]

def pente(x1, y1, x2, y2):
    return (y2 - y1) / (x2 - x1)

def concentration(rho_mes, a, b):
    return (rho_mes - b) / a

a = pente(c[0], rho[0], c[-1], rho[-1])
b = rho[0]
print("a =", round(a, 7), "g/mL par g/L ; b =", b, "g/mL")

for nom, m in [("soda", 51.94), ("jus d'orange", 51.70)]:
    rho_mes = m / 50.0
    print(nom, ": rho =", round(rho_mes, 4), "g/mL -> c =", round(concentration(rho_mes, a, b)), "g/L")

Résultats attendus. \(a = 0{,}0003872\) g/mL par g/L ; soda : 105 g/L ; jus d'orange : 93 g/L.

Interprétation. Le soda contient environ 105 g de sucre par litre, en accord avec les étiquettes courantes (10,6 g pour 100 mL pour un cola classique). Pour le jus d'orange, la valeur est à prendre avec prudence : il contient d'autres solutés (acides, sels minéraux) qui augmentent aussi sa masse volumique, alors que le modèle suppose que seul le sucre compte.

Erreurs fréquentes. Écrire rho_mes - b / a sans parenthèses : Python calcule d'abord \(b/a\) (environ 2 577) et le résultat est négatif.

c = 105
V = 33

m_sucre = c * V / 100            # erreur 3 : 33 cL = 0,33 L
morceaux = m_sucre / 6.0         # erreur 4 : masse totale / masse d'un morceau

print("Masse de sucre :", round(m_sucre), "g")
print("Nombre de morceaux :", round(morceaux))     # erreur 2 : nom de variable
if m_sucre > 25:                                  # erreur 1 : deux-points
    print("Plus que l'apport conseillé pour une journée entière !")

Erreur 1 (bloquante). Il manque les deux-points à la fin de la ligne if : erreur de syntaxe.

Erreur 2 (bloquante). morceau n'existe pas : NameError.

Erreur 3 (silencieuse). Le volume est en centilitres : \(105 \times 33 = 3\,465\) « g », 100 fois trop. Il faut \(V = 0{,}33\ \text{L}\).

Erreur 4 (silencieuse). Le rapport est inversé : on calcule combien de canettes contiendraient un seul morceau.

Résultat après correction. Masse de sucre : 35 g, Nombre de morceaux : 6, et le message d'alerte.