Chapitre 6 — Mouvement d'un système

Rappels de seconde

Dans un référentiel donné, la position d'un système modélisé par un point matériel est repérée par un vecteur position. Sa vitesse, à un instant donné, est représentée par un vecteur vitesse, tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Construire un vecteur vitesse à partir d'une chronophotographie

Une chronophotographie enregistre la position d'un système à intervalles de temps réguliers τ (durée entre deux prises de vue successives). Pour estimer le vecteur vitesse en un point M_i, on utilise les positions juste avant et juste après ce point :

Ce vecteur a la direction du segment M_i-1M_i+1, le sens du mouvement, et une norme égale à la distance M_i-1M_i+1 divisée par 2τ.

Le vecteur variation de vitesse

Entre deux instants voisins t_i et t_i+1, le vecteur variation de vitesse est défini par :

Attention : ce vecteur peut être non nul même si la valeur de la vitesse ne change pas — un simple changement de direction suffit (c'est le cas d'un mouvement circulaire uniforme, comme celui d'une nacelle de grande roue ou d'une voiture dans un rond-point).

Exercices d'application directe

Calcule d'abord au brouillon, puis clique pour vérifier ta réponse.

Somme de deux vecteurs — méthode « bout à bout »

Pour construire la somme \(\vec{u} + \vec{v}\), on trace \(\vec{u}\), puis on trace \(\vec{v}\) en plaçant son origine à l'extrémité de \(\vec{u}\). Le vecteur somme va de l'origine de \(\vec{u}\) à l'extrémité de \(\vec{v}\) (relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)).

Vecteur opposé et différence de deux vecteurs

Le vecteur opposé de \(\vec{v}\), noté \(-\vec{v}\), a la même direction et la même norme que \(\vec{v}\), mais un sens opposé. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé :

Exercice d'application directe

Entre deux instants voisins séparés d'une courte durée Δt, la variation du vecteur vitesse d'un système de masse m est reliée à la résultante des forces \(\sum\vec{F}\) qu'il subit par la relation approchée :

Cette relation — une première approche simplifiée de la deuxième loi de Newton, approfondie en terminale — montre deux choses essentielles : \(\Delta\vec{v}\) a toujours la même direction et le même sens que \(\sum\vec{F}\) (puisque m > 0 et Δt > 0) ; et à force donnée, plus la masse est grande, plus la variation de vitesse est faible — c'est le rôle d'inertie de la masse.

Elle peut s'utiliser dans les deux sens :

Exercices d'application directe

Calcule d'abord au brouillon, puis clique pour vérifier ta réponse.

Le programme officiel demande de savoir utiliser un langage de programmation pour étudier la relation approchée entre Δv et ΣF. Concrètement, on simule pas à pas le mouvement d'un système : à chaque petit intervalle de temps Δt, on met à jour sa vitesse grâce à la relation \(\Delta\vec{v} \approx (\Sigma\vec{F}/m)\,\Delta t\), puis sa position grâce à cette nouvelle vitesse. C'est ce qu'on appelle une méthode d'Euler — un algorithme, pas seulement une formule.

m = 0.50              # masse du système (kg)
g = 9.8               # intensité de la pesanteur (N/kg)
Fx, Fy = 0, -m*g       # résultante des forces : le poids seul (N)
dt = 0.02              # pas de temps (s)

vx, vy = 5.0, 0.0        # vitesse initiale (m/s)
x, y = 0.0, 1.0          # position initiale (m)

for i in range(50):
    vx = vx + (Fx/m)*dt   # Δv ≈ (ΣF/m)Δt, en x
    vy = vy + (Fy/m)*dt   # Δv ≈ (ΣF/m)Δt, en y
    x = x + vx*dt
    y = y + vy*dt
    print(i, round(x,2), round(y,2))

Pourquoi cette capacité est-elle exigible ? Elle montre que la relation approchée n'est pas qu'une formule isolée : répétée un grand nombre de fois avec un petit pas de temps, elle permet de reconstruire toute une trajectoire — c'est exactement le principe des logiciels de simulation utilisés en travaux pratiques pour comparer un mouvement mesuré (par chronophotographie) à un mouvement modélisé.

Au bac, on te demandera le plus souvent de compléter quelques lignes d'un tel script plutôt que de l'écrire en entier : entraîne-toi à repérer quelle ligne traduit quelle étape du raisonnement physique.

Formules essentielles

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