Exercices — Mouvement d'un système

On considère quatre mouvements, décrits dans le référentiel terrestre :

• (a) une voiture roule à 90 km/h sur une autoroute rectiligne ;
• (b) un TGV accélère en ligne droite au départ d'une gare ;
• (c) une nacelle de grande roue tourne à vitesse de valeur constante ;
• (d) un cycliste freine en ligne droite.

1. Pour chaque mouvement, dire si le vecteur variation de vitesse \(\Delta\vec{v}\) entre deux instants voisins est nul ou non. Justifier.
2. Dans les cas où \(\Delta\vec{v}\) n'est pas nul, préciser son sens par rapport au mouvement (ou vers où il pointe).

Une balle est lancée horizontalement. La chronophotographie ci-dessous (intervalle entre deux images \(\tau = 40\ \text{ms}\)) est réalisée à l'échelle indiquée. Sur le document imprimé, on mesure \(M_3M_5 = 4{,}8\ \text{cm}\).

1. Rappeler la relation permettant d'estimer la vitesse au point \(M_4\).
2. Calculer la valeur de la vitesse de la balle en \(M_4\).
3. Décrire la direction et le sens du vecteur vitesse en \(M_4\).

Un chariot de masse \(m = 0{,}50\ \text{kg}\) roule en ligne droite. On mesure \(v_1 = 2{,}0\ \text{m/s}\) à l'instant \(t_1\), puis \(v_2 = 3{,}5\ \text{m/s}\) à l'instant \(t_2 = t_1 + 0{,}30\ \text{s}\), dans le même sens.

1. Calculer la valeur de \(\Delta\vec{v}\) et indiquer son sens.
2. Estimer la valeur de la résultante des forces qui s'exercent sur le chariot. Quel est son sens ?

Un ballon de masse \(m = 0{,}40\ \text{kg}\) roule vers l'est à \(v_1 = 4{,}0\ \text{m/s}\). Un joueur le frappe : juste après le contact (durée \(\Delta t = 0{,}020\ \text{s}\)), il part vers le nord à \(v_2 = 3{,}0\ \text{m/s}\).

1. Construire, à l'échelle 1 cm pour 1 m/s, le vecteur \(\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1\) (décrire la construction).
2. Calculer la valeur de \(\Delta\vec{v}\). Vers quelle direction pointe-t-il ?
3. Estimer la valeur de la force moyenne exercée par le pied sur le ballon (on néglige les autres forces pendant le choc).

Une crosse de hockey exerce sur un palet immobile (\(m_1 = 0{,}17\ \text{kg}\)) une force de valeur \(F = 34\ \text{N}\) pendant \(\Delta t = 0{,}010\ \text{s}\). On néglige les frottements pendant le choc et on admet que le poids est compensé par la réaction de la glace.

1. Estimer la vitesse du palet juste après le coup.
2. La même force, pendant la même durée, est appliquée à une balle de tennis (\(m_2 = 0{,}058\ \text{kg}\)). Calculer sa vitesse finale.
3. Quelle propriété de la masse ces deux résultats illustrent-ils ?

On filme la chute verticale d'une bille de masse \(m = 0{,}20\ \text{kg}\), lâchée sans vitesse. Un logiciel de pointage donne la position \(y\) (axe vertical orienté vers le bas) toutes les 0,050 s.

1. Estimer la vitesse de la bille à \(t = 0{,}100\ \text{s}\) puis à \(t = 0{,}200\ \text{s}\).
2. En déduire la variation de vitesse entre ces deux instants, puis une estimation de la résultante des forces.
3. Comparer au poids de la bille. Que peut-on conclure sur les frottements de l'air ?

Une voiture de masse \(m = 1{,}2\times10^{3}\ \text{kg}\) parcourt un rond-point à la vitesse de valeur constante \(v = 36\ \text{km/h}\). Entre deux instants séparés de \(\Delta t = 0{,}50\ \text{s}\), la direction de son vecteur vitesse tourne de 30°.

1. Convertir la vitesse en m/s. La voiture est-elle soumise à une résultante des forces nulle ? Justifier.
2. Construire \(\Delta\vec{v}\) (vecteurs de même origine, puis différence) et montrer que sa valeur vaut \(\Delta v = 2\,v\,\sin 15°\). La calculer.
3. Estimer la valeur de la résultante des forces et indiquer vers où elle est dirigée. Quelle force, exercée par la route, en est responsable ?

Une voiture de masse \(M = 1{,}3\times10^{3}\ \text{kg}\) roulant à 90 km/h en ligne droite s'arrête en 3,5 s lors d'un freinage d'urgence. On suppose la décélération régulière. Un passager de masse \(m = 70\ \text{kg}\) est attaché.

1. Calculer la variation de vitesse de la voiture et préciser le sens de \(\Delta\vec{v}\).
2. Estimer la valeur de la résultante des forces qui s'exercent sur la voiture. La comparer à son poids.
3. Le passager subit la même variation de vitesse. Estimer la force que doit exercer sur lui la ceinture (on néglige les autres forces horizontales). Pourquoi la ceinture est-elle indispensable ?

Le script Python ci-dessous simule le mouvement d'une balle lancée vers le haut et vers l'avant, soumise à son seul poids.

m = 0.50          # masse (kg)
g = 9.8           # intensité de la pesanteur (N/kg)
dt = 0.10         # pas de temps (s)
Fx, Fy = 0, -m*g  # résultante des forces (N)
x, y = 0.0, 0.0   # position initiale (m)
vx, vy = 2.0, 3.0 # vitesse initiale (m/s)
for i in range(10):
    vx = vx + (Fx/m)*dt   # ligne A
    vy = vy + (Fy/m)*dt   # ligne B
    x = x + vx*dt         # ligne C
    y = y + vy*dt         # ligne D
    print(i+1, round(x, 3), round(y, 3))

1. Quelle ligne traduit la relation approchée \(\Delta v_y \approx (F_y/m)\,\Delta t\) ? Pourquoi la ligne A ne modifie-t-elle jamais \(v_x\) ?
2. Exécuter « à la main » les deux premières itérations : donner \(v_y\), \(x\) et \(y\) après chacune.
3. À partir de quelle itération \(v_y\) devient-il négatif ? Interpréter physiquement.
4. Un élève écrit par erreur Fx, Fy = 0, m*g. Que montrerait la simulation ? Pourquoi ?

Un parachutiste (masse totale avec équipement \(m = 80\ \text{kg}\)) ouvre son parachute alors qu'il chute verticalement à 50 m/s. Un altimètre enregistre la valeur de sa vitesse :

1. Entre \(t = 0\) et \(t = 0{,}5\ \text{s}\), calculer \(\Delta v\) et estimer la résultante des forces (valeur et sens).
2. En déduire la valeur de la force de frottement de l'air \(f\) sur cet intervalle.
3. Refaire l'estimation de \(f\) entre \(t = 1{,}0\) et \(t = 1{,}5\ \text{s}\). Comment évolue \(f\) quand la vitesse diminue ?
4. Que va-t-il se passer lorsque \(f\) deviendra égale au poids ? Décrire le mouvement final.