Vérifier la loi de Snell-Descartes

import math

n1 = 1.00
i1 = 40
i2 = 25.5

n2 = n1 * math.sin(math.radians(i1)) / math.sin(math.radians(i2))

print("indice du plexiglas :", round(n2, 3))

Résultats attendus. Avant correction : 2,075, qui ferait du plexiglas un matériau presque aussi réfringent que le diamant : suspect. Après correction : 1,493.

Interprétation. L'indice obtenu est cohérent avec celui d'un plastique transparent (1,49 pour le plexiglas). L'erreur de mode degrés/radians ne provoque aucun message : seul un esprit critique la détecte.

Erreurs fréquentes. Oublier import math ; ne convertir qu'un seul des deux angles.

import math

i1 = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80]
i2 = [6.5, 13.5, 19.5, 25.5, 31.0, 35.5, 39.0, 41.5]

indices = []
for k in range(len(i1)):
    n = math.sin(math.radians(i1[k])) / math.sin(math.radians(i2[k]))
    indices.append(n)
    print("i1 =", i1[k], "°  i2 =", i2[k], "°  n =", round(n, 3))

n_moy = sum(indices) / len(indices)
ecart = abs(n_moy - 1.49) / 1.49 * 100
print("indice moyen :", round(n_moy, 3))
print("écart avec 1,49 :", round(ecart, 1), "%")

Résultats attendus. Indices : 1,534 ; 1,465 ; 1,498 ; 1,493 ; 1,487 ; 1,491 ; 1,493 ; 1,486. Moyenne : 1,494. Écart : 0,2 %.

Interprétation. Le rapport \(\sin i_1/\sin i_2\) est à peu près constant : la loi de Snell-Descartes est vérifiée, et ce rapport est l'indice du plexiglas. Les deux premières mesures s'écartent le plus : pour de petits angles, une erreur de lecture de 0,5° représente une grande part de l'angle (0,5° sur 6,5°, soit 8 %).

Erreurs fréquentes. Inverser le rapport (indices de 0,67, inférieurs à 1 : impossible) ; oublier la conversion en radians.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

i1 = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80]
i2 = [6.5, 13.5, 19.5, 25.5, 31.0, 35.5, 39.0, 41.5]
n = 1.494

sin_i1 = []
sin_i2 = []
for k in range(len(i1)):
    sin_i1.append(math.sin(math.radians(i1[k])))
    sin_i2.append(math.sin(math.radians(i2[k])))

modele = []
for s in sin_i2:
    modele.append(n * s)

plt.plot(sin_i2, sin_i1, 'o', color='red', label='mesures : sin i1 en fonction de sin i2')
plt.plot(sin_i2, modele, '-', color='navy', label='modèle : sin i1 = 1,494 × sin i2')
plt.plot([x / 100 for x in i2], [x / 100 for x in i1], 's', color='gray', label='angles / 100 (i1 en fonction de i2)')
plt.title("Loi de Snell-Descartes pour le plexiglas")
plt.xlabel("sin i2  (ou i2 / 100)")
plt.ylabel("sin i1  (ou i1 / 100)")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Résultat attendu. Les points rouges sont alignés sur la droite bleue passant par l'origine. Les carrés gris (angles divisés par 100 pour tenir sur le même graphique) dessinent une courbe qui se redresse : ils ne sont pas alignés.

Interprétation. \(\sin i_1\) est proportionnel à \(\sin i_2\), avec un coefficient égal à l'indice du plexiglas : c'est la loi de Snell-Descartes (\(\sin i_1 = n \sin i_2\) car \(n_1 = 1{,}00\)). Les angles eux-mêmes ne sont pas proportionnels : écrire \(i_1 = n\,i_2\) serait faux, sauf pour de petits angles.

Erreurs fréquentes. Tracer \(\sin i_2\) en fonction de \(\sin i_1\) : la droite reste valable, mais son coefficient devient \(1/n\).

import math

def refraction(n1, n2, i1):
    s = n1 * math.sin(math.radians(i1)) / n2
    if s > 1:
        return None
    return math.degrees(math.asin(s))

n_plexi = 1.49
for i1 in [0, 10, 20, 30, 40, 42, 45, 60]:
    a = refraction(1.00, n_plexi, i1)
    b = refraction(n_plexi, 1.00, i1)
    if b is None:
        texte_b = "pas de rayon réfracté"
    else:
        texte_b = str(round(b, 1)) + " °"
    print("i1 =", i1, "° | air -> plexi :", round(a, 1), "° | plexi -> air :", texte_b)

Résultats attendus. Air → plexiglas : 0 ; 6,7 ; 13,3 ; 19,6 ; 25,6 ; 26,7 ; 28,3 ; 35,5°. Plexiglas → air : 0 ; 15,0 ; 30,6 ; 48,2 ; 73,3 ; 85,6° ; puis « pas de rayon réfracté » pour 45° et 60°.

Interprétation. De l'air vers le plexiglas, le rayon se rapproche de la normale, et il existe toujours un rayon réfracté. Du plexiglas vers l'air, il s'en écarte, et au-delà d'environ 42° il n'y a plus de rayon réfracté : toute la lumière est réfléchie. C'est la réflexion totale, utilisée dans les fibres optiques (pour aller plus loin).

Erreurs fréquentes. Appeler math.asin avec une valeur supérieure à 1 : Python s'arrête avec ValueError: math domain error. C'est pourquoi la fonction teste s > 1 avant.

import math                                            # erreur 1

i1 = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80]
i2 = [6.5, 13.5, 19.5, 25.5, 31.0, 35.5, 39.0, 41.5]   # erreur 2 : mesure manquante

somme = 0
for k in range(len(i1)):
    n = math.sin(math.radians(i1[k])) / math.sin(math.radians(i2[k]))   # erreurs 3 et 4
    somme = somme + n
print("indice moyen :", round(somme / len(i1), 3))

Erreur 1 (bloquante). math n'a pas été importé : NameError.

Erreur 2 (bloquante). La liste i2 n'a que 7 valeurs pour 8 valeurs de i1 : au dernier tour, i2[7] n'existe pas (IndexError).

Erreur 3 (silencieuse). Les angles sont pris en radians : les sinus sont n'importe quoi (parfois négatifs), la « moyenne » n'a aucun sens.

Erreur 4 (silencieuse). Le rapport est inversé : on obtient \(1/n \approx 0{,}67\), inférieur à 1, impossible pour un indice.

Résultat après correction. Indice moyen : 1,494.