◎Objectifs et prérequis
À la fin du chapitre, je sais…
- définir le système étudié et le modéliser par un point ;
- choisir un référentiel et expliquer que le mouvement dépend de ce choix ;
- exploiter une chronophotographie pour décrire une trajectoire et l'évolution de la vitesse ;
- construire un vecteur déplacement et un vecteur vitesse à l'échelle ;
- reconnaître un mouvement rectiligne uniforme, accéléré ou ralenti ;
- représenter des positions et des vecteurs vitesse avec Python (TP).
Ce que je dois déjà savoir (collège et maths)
- la relation \(v = \dfrac{d}{\Delta t}\) entre vitesse, distance et durée ;
- les unités : mètre (m), seconde (s), mètre par seconde (\(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)) et km/h ;
- convertir : \(1\ \text{km} = 1000\ \text{m}\), \(1\ \text{h} = 3600\ \text{s}\) ;
- utiliser une échelle (plan, carte) et un tableau de proportionnalité ;
- en maths : un vecteur a une direction, un sens et une norme (longueur).
?Point de départ : qui a raison ?
« Le passager qui dort dans le TGV passe devant moi à 300 km/h. Il est en mouvement ! »
« Pas du tout : depuis une heure, il est toujours à 80 cm de moi. Il est immobile ! »
Les deux observations sont exactes. Léa et Hugo ne se contredisent pas : ils décrivent le même passager par rapport à deux objets différents (le quai pour Léa, le train pour Hugo). Pour décrire un mouvement sans ambiguïté, il faut donc préciser qui bouge (le système) et par rapport à quoi (le référentiel). C'est l'objet des parties 1 et 2.
1Le système et son modèle : un point
Le système est l'objet (ou l'ensemble d'objets) dont on étudie le mouvement. Tout le reste constitue l'extérieur du système.
Un ballon tourne sur lui-même, une voiture a des roues qui tournent… Pour décrire l'ensemble du déplacement sans entrer dans ces détails, on modélise souvent le système par un point, en général son centre. On parle de point matériel.
Quand les dimensions du système sont très petites devant les distances qu'il parcourt, ou quand on ne s'intéresse qu'à son déplacement d'ensemble. La Terre (diamètre \(1{,}3\times10^{7}\ \text{m}\)) peut être un point pour étudier son orbite autour du Soleil (rayon \(1{,}5\times10^{11}\ \text{m}\)) ; elle ne peut pas l'être pour étudier le jour et la nuit.
Les échelles caractéristiques de l'Univers
Le choix du modèle dépend de l'échelle du phénomène. Les longueurs rencontrées en physique s'étendent sur plus de 40 puissances de dix :
| Objet | Taille caractéristique | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| Noyau d'un atome | \(\approx 10^{-15}\ \text{m}\) | \(10^{-15}\ \text{m}\) |
| Atome | \(\approx 10^{-10}\ \text{m}\) | \(10^{-10}\ \text{m}\) |
| Cellule humaine | \(\approx 2\times10^{-5}\ \text{m}\) | \(10^{-5}\ \text{m}\) |
| Être humain | \(1{,}7\ \text{m}\) | \(10^{0}\ \text{m}\) |
| Diamètre de la Terre | \(1{,}3\times10^{7}\ \text{m}\) | \(10^{7}\ \text{m}\) |
| Distance Terre – Soleil | \(1{,}5\times10^{11}\ \text{m}\) | \(10^{11}\ \text{m}\) |
| Diamètre de notre galaxie | \(\approx 10^{21}\ \text{m}\) | \(10^{21}\ \text{m}\) |
2Référentiel et relativité du mouvement
Un référentiel est un objet de référence par rapport auquel on décrit le mouvement, muni d'un repère (pour repérer les positions) et d'une horloge (pour repérer les instants).
Référentiel terrestre
Le sol, ou tout objet fixe par rapport au sol (quai, bâtiment). Pour les mouvements de la vie quotidienne.
Référentiel géocentrique
Le centre de la Terre et des directions d'étoiles lointaines. Pour la Lune et les satellites.
Référentiel héliocentrique
Le centre du Soleil et des directions d'étoiles lointaines. Pour les planètes.
La description d'un mouvement (immobile ou non, trajectoire, valeur de la vitesse) dépend du référentiel choisi. Dire « cet objet est immobile » n'a de sens que si l'on précise par rapport à quel référentiel.
Retour au TGV : dans le référentiel terrestre (quai), le passager se déplace à 300 km/h. Dans le référentiel lié au train, il est immobile. Léa et Hugo ont raison chacun dans leur référentiel.
Simulation — La valve d'une roue de vélo : quelle trajectoire ?
Un vélo roule en ligne droite. On suit la valve de la roue avant (point orange). Les points blancs sont ses positions successives, relevées à intervalles de temps égaux. Change de référentiel et compare les trajectoires.
Dans le référentiel de la route, la valve décrit une suite d'arches (courbe appelée cycloïde). Dans le référentiel du vélo, elle décrit un simple cercle. Même objet, même instant, deux trajectoires : c'est la relativité du mouvement.
3Trajectoire et chronophotographie
La trajectoire d'un point est l'ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du mouvement, dans un référentiel donné.
Rectiligne
La trajectoire est une droite (ou un segment). Ex. : une bille qui roule sur une règle.
Circulaire
La trajectoire est un cercle (ou un arc). Ex. : une nacelle de grande roue.
Curviligne
La trajectoire est une courbe quelconque. Ex. : un ballon de basket lancé.
Une chronophotographie superpose sur une même image les positions \(M_0, M_1, M_2, \dots\) du point étudié, relevées à intervalles de temps égaux \(\Delta t\) (par exemple toutes les \(0{,}040\ \text{s}\) pour une vidéo à 25 images par seconde).
Puisque la durée entre deux images est toujours la même, l'écart entre deux positions successives renseigne directement sur la valeur de la vitesse :
| Écart entre deux positions successives | La valeur de la vitesse… | Le mouvement est… |
|---|---|---|
| constant | reste constante | uniforme |
| de plus en plus grand | augmente | accéléré |
| de plus en plus petit | diminue | ralenti (décéléré) |
Simulation — Fabriquer une chronophotographie
Choisis un mouvement et la durée \(\Delta t\) entre deux images. Observe l'écart entre les positions.
4Vecteur déplacement et vitesse moyenne
La valeur de la vitesse moyenne (rappel du collège)
Si un point parcourt une distance \(d\) pendant une durée \(\Delta t\), la valeur de sa vitesse moyenne est :
- \(v\)
- valeur de la vitesse moyenne, en mètres par seconde (\(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\))
- \(d\)
- distance parcourue, en mètres (m)
- \(\Delta t\)
- durée du parcours, en secondes (s)
\(1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = \dfrac{1\ \text{m}}{1\ \text{s}} = \dfrac{0{,}001\ \text{km}}{\frac{1}{3600}\ \text{h}} = 3{,}6\ \text{km/h}\). Donc :
Exemple : \(90\ \text{km/h} = \dfrac{90}{3{,}6} = 25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Le vecteur déplacement
La valeur de la vitesse ne dit pas dans quelle direction on se déplace. Pour cela, on utilise des vecteurs.
Le vecteur déplacement d'un point qui passe de la position \(M\) à la position \(M'\) est le vecteur \(\overrightarrow{MM'}\). Il a :
- pour direction : la droite \((MM')\) ;
- pour sens : de \(M\) vers \(M'\) ;
- pour norme (longueur) : la distance \(MM'\), en mètres.
Le vecteur déplacement relie en ligne droite le départ et l'arrivée. Sur une trajectoire courbe, sa norme \(MM'\) est plus petite que la distance réellement parcourue le long de la courbe.
Le vecteur vitesse moyenne
Entre les instants \(t\) (position \(M\)) et \(t'\) (position \(M'\)), le vecteur vitesse moyenne est :
Il a la même direction et le même sens que \(\overrightarrow{MM'}\), et pour norme \(v_{\text{moy}} = \dfrac{MM'}{\Delta t}\) en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Une vitesse n'est pas une longueur : pour la dessiner, on choisit une échelle de représentation, par exemple \(1\ \text{cm} \leftrightarrow 2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Une vitesse de \(5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) est alors représentée par une flèche de \(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\ \text{cm}\). L'échelle doit toujours être indiquée sur le schéma.
5Le vecteur vitesse en un point
Le vecteur vitesse moyenne décrit le mouvement entre deux positions. Pour décrire le mouvement à un instant donné, on prend deux positions très rapprochées : sur une chronophotographie, ce sont deux positions successives.
Sur une chronophotographie de durée \(\Delta t\) entre deux images, on approche le vecteur vitesse au point \(M_i\) par le vecteur vitesse moyenne entre \(M_i\) et la position suivante \(M_{i+1}\) :
Caractéristiques de \(\vec v_i\) :
- origine : le point \(M_i\) ;
- direction : celle de \((M_iM_{i+1})\), presque tangente à la trajectoire en \(M_i\) ;
- sens : celui du mouvement ;
- norme : \(v_i = \dfrac{M_iM_{i+1}}{\Delta t}\), en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
Plus \(\Delta t\) est petit, meilleure est l'approximation.
Simulation — Construire le vecteur vitesse et voir l'effet de Δt
Un ballon est lancé. Choisis le point \(M_i\) et la durée \(\Delta t\). La flèche orange est \(\vec v_i \approx \overrightarrow{M_iM_{i+1}}/\Delta t\) ; la ligne pointillée est la tangente à la trajectoire en \(M_i\). Diminue \(\Delta t\) : la flèche se rapproche de la tangente.
Échelle des vitesses sur le schéma : 1 carreau de la grille (0,20 m) ↔ 1 m·s⁻¹.
6Caractériser un mouvement
Décrire complètement un mouvement, c'est donner sa trajectoire et l'évolution de sa vitesse. Le vecteur vitesse résume les deux : sa direction suit la trajectoire, sa norme donne la valeur de la vitesse.
| Mouvement | Trajectoire | Valeur de la vitesse | Vecteur vitesse |
|---|---|---|---|
| Rectiligne uniforme | droite | constante | constant (même direction, même sens, même norme) |
| Rectiligne accéléré | droite | augmente | même direction, norme qui augmente |
| Rectiligne ralenti | droite | diminue | même direction, norme qui diminue |
| Circulaire uniforme | cercle | constante | non constant : sa direction change à chaque instant |
« Vitesse constante » ne veut pas dire « vecteur vitesse constant ». Dans un virage pris à vitesse constante, la valeur de la vitesse ne change pas mais sa direction change : le vecteur vitesse varie. Seul le mouvement rectiligne uniforme a un vecteur vitesse constant.
✎Méthode : exploiter une chronophotographie
Énoncé. Un skateur roule sur une piste. Sur la chronophotographie, la durée entre deux images est \(\Delta t = 0{,}20\ \text{s}\) et l'échelle est : \(1\ \text{cm}\) sur l'image \(\leftrightarrow 0{,}50\ \text{m}\) en réalité. On mesure \(M_3M_4 = 2{,}4\ \text{cm}\) sur l'image. Déterminer la valeur de la vitesse au point \(M_3\), en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) puis en km/h, et la longueur de la flèche qui représente \(\vec v_3\) avec l'échelle \(1\ \text{cm} \leftrightarrow 2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).
!Erreurs fréquentes
« La voiture est immobile » est incomplet. On écrit : « immobile dans le référentiel terrestre ».
\(2{,}4\ \text{cm}\) sur l'image ne sont pas \(2{,}4\ \text{cm}\) en réalité : on convertit avec l'échelle avant tout calcul de vitesse.
Avec \(d\) en mètres et \(\Delta t\) en secondes, \(v\) est en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Pour passer en km/h, on multiplie par 3,6 (et non l'inverse).
Entre \(M_1\) et \(M_5\), il y a 4 intervalles, donc une durée \(4\,\Delta t\) (et non \(5\,\Delta t\)).
\(\vec v_i\) part de \(M_i\) (pas de \(M_{i+1}\)) et sa longueur dépend de l'échelle des vitesses, pas de la distance \(M_iM_{i+1}\) sur l'image.
En mouvement circulaire uniforme, la valeur est constante mais le vecteur vitesse change de direction.
★L'essentiel
Système et référentiel
On décrit le mouvement d'un système, modélisé par un point, dans un référentiel. Le mouvement est relatif : il dépend du référentiel.
Trajectoire
Ensemble des positions successives : rectiligne, circulaire ou curviligne. La chronophotographie donne les positions à \(\Delta t\) constant.
Vitesse moyenne
m·s⁻¹ × 3,6 = km/h
Vecteur vitesse en \(M_i\)
Tangent à la trajectoire, sens du mouvement, norme \(v_i\).
✓Quiz : vérifie que tu as compris
1. Un passager assis dans un bus en marche est immobile…
2. Sur une chronophotographie, les positions sont de plus en plus écartées. Le mouvement est :
3. \(72\ \text{km/h}\) correspond à :
4. Le vecteur vitesse en un point d'une trajectoire courbe est :
5. \(\Delta t = 0{,}040\ \text{s}\) entre deux images. La durée entre \(M_2\) et \(M_7\) est :
6. Une voiture prend un rond-point à 30 km/h constants. Son vecteur vitesse est :
→S'entraîner et expérimenter
Parties 1 à 3 du cours → exercices 1 à 4 → parties 4 et 5 → exercices 5 à 8 → TP Python → exercices 9 et 10 → quiz.