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Exercice 1 — Unités de pression et de température
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Niveau 1 — application directeObjectif : Convertir les unités de pression et de température ; interpréter la pression
Un bulletin météo annonce une pression atmosphérique de 1013 hPa. Un pneu de vélo est gonflé à 2,5 bar, une cocotte-minute fonctionne à 350 kPa, et la température d'un patient est de 37 °C.
\(1{,}013\times10^{5}\ \text{Pa}\) ; \(2{,}5\times10^{5}\ \text{Pa}\) ; \(3{,}50\times10^{5}\ \text{Pa}\) soit 3,50 bar.
Interprétation
Le bar vaut presque exactement la pression atmosphérique normale : un pneu à 2,5 bar contient de l'air environ 2,5 fois plus « comprimé » que l'air ambiant.
Piège à éviter
Confondre hPa et kPa : \(1\ \text{hPa} = 100\ \text{Pa}\) mais \(1\ \text{kPa} = 1000\ \text{Pa}\).
2. Température
Loi / formule
\(T = \theta + 273{,}15\)
Application numérique
\(T = 37 + 273{,}15\)
Résultat
\(T \approx 310\ \text{K}\) (310,15 K).
3. Interprétation microscopique
Raisonnement
Les molécules de l'air sont en mouvement désordonné permanent. Elles heurtent sans cesse les parois du pneu ; chaque choc exerce une force minuscule, mais l'ensemble de ces chocs, extrêmement nombreux, produit une force répartie sur la surface.
Résultat
La pression est l'effet macroscopique des chocs des molécules sur les parois.
Piège à éviter
Croire que les molécules « poussent » en restant immobiles contre la paroi.
Exercice 2 — Masse volumique d'une huile
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Niveau 1 — application directeObjectif : Utiliser \(\rho = m/V\) avec des unités cohérentes
Une huile alimentaire a une masse volumique de \(0{,}92\ \text{g/mL}\).
Exprimer cette masse volumique en kg/m³.
Calculer la masse d'huile contenue dans une bouteille de 2,0 L.
L'huile flotte-t-elle sur l'eau (\(\rho_{eau} = 1{,}00\times10^{3}\ \text{kg/m}^3\)) ? Justifier.
Niveau 2 — plusieurs étapesObjectif : Calculer des forces pressantes et faire un bilan
On bouche l'embout d'une seringue puis on enfonce le piston. L'air emprisonné atteint une pression \(P = 1{,}5\times10^{5}\ \text{Pa}\). L'air extérieur est à \(P_0 = 1{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}\). La surface du piston vaut \(S = 2{,}0\ \text{cm}^2\).
Calculer la valeur de la force pressante exercée par l'air intérieur sur le piston.
Calculer la valeur de la force pressante exercée par l'air extérieur sur le piston.
Quelle force (valeur, sens) le doigt doit-il exercer pour maintenir le piston immobile ? On néglige les frottements.
Convertis S en m² : \(1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2\).
Le piston immobile : les forces qu'il subit se compensent.
\(F_{ext} = 20\ \text{N}\), dirigée vers l'intérieur de la seringue.
3. Force du doigt
Raisonnement
Le piston est immobile : les forces qu'il subit se compensent (principe d'inertie). L'air intérieur pousse plus fort que l'air extérieur ; le doigt doit compenser la différence.
Loi / formule
\(F_{doigt} + F_{ext} = F_{int}\)
Application numérique
\(F_{doigt} = 30 - 20\)
Résultat
\(F_{doigt} = 10\ \text{N}\), dirigée vers l'intérieur de la seringue (le doigt pousse le piston).
Interprétation
10 N, c'est le poids d'une masse d'environ 1 kg : on sent bien la résistance de l'air comprimé.
Exercice 4 — Tester la loi de Mariotte
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Niveau 2 — plusieurs étapesObjectif : Exploiter des mesures pour valider une loi et faire une prévision
Une seringue reliée à un capteur de pression emprisonne une quantité d'air fixe. On fait varier lentement le volume (la température reste constante) et on relève la pression.
\(V\) (mL)
60
50
40
30
20
\(P\) (hPa)
1000
1200
1500
2000
3000
Calculer le produit \(P\times V\) pour chaque mesure. Conclure.
Prévoir la pression lorsque le volume vaut 25 mL.
Pourquoi faut-il déplacer le piston lentement pendant les mesures ?
Une loi « \(P\times V = \text{constante}\) » se vérifie en calculant le produit pour chaque ligne.
Une compression rapide échauffe le gaz.
1. Produit P × V
Application numérique
\(V\) (mL)
60
50
40
30
20
\(P\times V\) (hPa·mL)
60 000
60 000
60 000
60 000
60 000
Résultat
Le produit \(P\times V\) est constant (60 000 hPa·mL) : les mesures vérifient la loi de Mariotte.
Interprétation
Inutile de convertir en unités SI : on compare des produits calculés avec les mêmes unités.
2. Prévision
Loi / formule
\(P\times V = 60\,000\ \text{hPa·mL} \Rightarrow P = \dfrac{60\,000}{V}\)
Interpoler linéairement entre 30 mL (2000 hPa) et 20 mL (3000 hPa) donne 2500 hPa : faux, P n'est pas une fonction affine de V.
3. Déplacement lent
Raisonnement
La loi de Mariotte n'est valable qu'à température constante. Une compression rapide échauffe l'air (l'agitation des molécules augmente) ; un déplacement lent laisse le temps à l'air d'échanger de l'énergie avec l'extérieur et de rester à la température ambiante.
Résultat
Pour respecter la condition de température constante.
Exercice 5 — La pression au robinet et le château d'eau
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Niveau 3 — choisir une méthodeObjectif : Appliquer la loi fondamentale de la statique des fluides
La surface libre de l'eau d'un château d'eau, à l'air libre, se trouve 35 m au-dessus d'un robinet (fermé) situé au rez-de-chaussée d'un immeuble. Un autre robinet se trouve au 3ᵉ étage, 9,0 m au-dessus du premier.
Calculer la pression de l'eau au robinet du rez-de-chaussée. L'exprimer en bar.
Calculer la pression au robinet du 3ᵉ étage.
Pourquoi construit-on les châteaux d'eau sur des points hauts ?
Point 1 : surface libre, à la pression \(P_0\). Point 2 : le robinet, plus bas de \(h\).
1. Rez-de-chaussée
Ce que l'on cherche
La pression \(P_2\) au robinet, situé \(h = 35\ \text{m}\) sous la surface libre.
Raisonnement
L'eau est un liquide au repos : on applique la loi fondamentale de la statique des fluides entre la surface libre (point 1, pression \(P_0\)) et le robinet (point 2).
Montrer que la relation \(P = P_0 + \rho g h\) est cohérente avec l'allure du graphique.
Déterminer le coefficient directeur de la droite, en Pa/m.
En déduire la masse volumique du liquide et l'identifier.
Pour une droite \(y = a\,x + b\), qu'est-ce qui joue le rôle de \(a\) ici ?
Attention : le graphique est en hPa.
1. Allure du graphique
Raisonnement
\(P = P_0 + (\rho g)\times h\) est une fonction affine de \(h\) : ordonnée à l'origine \(P_0\), coefficient directeur \(\rho g\). Le graphique est bien une droite croissante qui coupe l'axe des ordonnées à 1013 hPa, la pression atmosphérique.
Résultat
Les points sont alignés sur une droite d'ordonnée à l'origine \(P_0\) : cohérent avec la loi.
2. Coefficient directeur
Loi / formule
\(a = \dfrac{\Delta P}{\Delta h}\), avec deux points éloignés de la droite.
Oublier la conversion hPa → Pa : on trouverait une masse volumique 100 fois trop petite.
3. Masse volumique
Loi / formule
\(a = \rho\,g \Rightarrow \rho = \dfrac{a}{g}\)
Application numérique
\(\rho = \dfrac{1{,}08\times10^{4}}{9{,}81}\)
Résultat
\(\rho \approx 1{,}10\times10^{3}\ \text{kg/m}^3\) : c'est l'eau très salée.
Interprétation
La pression augmente de 108 hPa par mètre dans ce liquide, contre environ 98 hPa par mètre dans l'eau douce.
Exercice 7 — Plongée en apnée : que deviennent les poumons ?
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Niveau 4 — problème en autonomieObjectif : Combiner statique des fluides et loi de Mariotte dans un contexte réel
Une apnéiste remplit ses poumons à la surface (volume d'air \(V_0 = 6{,}0\ \text{L}\)), puis descend sans respirer jusqu'à 30 m de profondeur en mer. On admet que l'air des poumons est à la même pression que l'eau environnante et que sa température reste constante.
Justifier que l'on peut appliquer la loi de Mariotte à l'air des poumons, puis calculer son volume à 30 m.
À quelle profondeur la pression a-t-elle doublé par rapport à la surface ? Comparer la variation de volume entre 0 et 10 m, puis entre 20 et 30 m. Pourquoi dit-on que les premiers mètres sont les plus « dangereux » pour les oreilles ?
Mariotte : même quantité de gaz (pas de respiration) et même température.
Calcule le volume à 10 m et à 20 m avec la même méthode.
\(V \approx 1{,}5\ \text{L}\) : le volume pulmonaire est divisé par 4.
Interprétation
La cage thoracique se comprime : c'est pour cela que les apnéistes s'entraînent à la souplesse thoracique.
3. Les premiers mètres
Raisonnement
La pression double quand \(\rho g h = P_0\), soit \(h = \dfrac{P_0}{\rho g} = \dfrac{1{,}013\times10^{5}}{1{,}03\times10^{3}\times9{,}8} \approx 10\ \text{m}\).
Application numérique
À 10 m : \(P \approx 2{,}02\times10^{5}\ \text{Pa}\), \(V \approx 3{,}0\ \text{L}\). À 20 m : \(P \approx 3{,}03\times10^{5}\ \text{Pa}\), \(V \approx 2{,}0\ \text{L}\).
De 0 à 10 m : le volume passe de 6,0 L à 3,0 L (−3,0 L). De 20 à 30 m : de 2,0 L à 1,5 L (−0,5 L).
Résultat
La pression double dès 10 m ; la variation de volume est la plus forte près de la surface.
Interprétation
Le volume des cavités d'air (oreilles, sinus, poumons) varie le plus dans les premiers mètres : c'est là qu'il faut équilibrer ses oreilles le plus souvent.
Piège à éviter
Croire que le volume diminue « régulièrement » avec la profondeur : V est proportionnel à 1/P, pas à −h.
Exercice 8 — Le hublot du sous-marin
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Niveau 4 — problème en autonomieObjectif : Calculer une force pressante résultante en profondeur
Un sous-marin navigue à 300 m de profondeur. L'air intérieur est maintenu à la pression atmosphérique \(P_0\). Un hublot circulaire a un rayon \(r = 15\ \text{cm}\).
\(F \approx 2{,}1\times10^{5}\ \text{N}\), perpendiculaire au hublot, dirigée vers l'intérieur.
Piège à éviter
Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans \(\pi r^2\) : la surface serait 4 fois trop grande.
3. Masse équivalente
Loi / formule
\(m = \dfrac{F}{g}\)
Application numérique
\(m = \dfrac{2{,}14\times10^{5}}{9{,}8}\)
Résultat
\(m \approx 2{,}2\times10^{4}\ \text{kg}\), soit environ 22 tonnes.
Interprétation
C'est comme si un poids lourd était posé sur un hublot de 30 cm de diamètre : d'où l'épaisseur considérable des hublots de sous-marins (verre acrylique de plusieurs centimètres).
Exercice 9 — La loi de la statique appliquée à l'atmosphère ?
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Niveau 4 — problème en autonomieObjectif : Discuter le domaine de validité d'un modèle (transfert)
En 1648, Florin Périer, beau-frère de Pascal, montre que la pression atmosphérique est plus faible au sommet du Puy de Dôme qu'à Clermont-Ferrand. On cherche à estimer cette diminution avec la loi de la statique des fluides, établie pour les liquides.
Données Masse volumique de l'air près du sol : \(\rho_{air} = 1{,}2\ \text{kg/m}^3\) ; \(g = 9{,}8\ \text{N/kg}\) ; dénivelé Clermont–sommet : environ 1,1 km.
En appliquant la loi de la statique avec \(\rho_{air}\) constante, de combien faut-il monter pour que la pression diminue de 1 hPa ?
Avec ce même modèle, estimer la diminution de pression entre Clermont et le sommet.
En réalité, la masse volumique de l'air diminue quand on monte. La diminution réelle est-elle plus grande ou plus petite que l'estimation précédente ? Pourquoi la loi s'applique-t-elle bien aux liquides mais seulement sur de faibles hauteurs pour un gaz ?
\(\Delta P = \rho g\,\Delta z\) : isole \(\Delta z\).
Si \(\rho\) est plus petite en altitude, la pression diminue-t-elle plus ou moins vite ?
1. Hauteur pour 1 hPa
Loi / formule
\(\Delta P = \rho\,g\,\Delta z \Rightarrow \Delta z = \dfrac{\Delta P}{\rho\,g}\)
Conversions
\(\Delta P = 1\ \text{hPa} = 100\ \text{Pa}\)
Application numérique
\(\Delta z = \dfrac{100}{1{,}2\times9{,}8}\)
Résultat
\(\Delta z \approx 8{,}5\ \text{m}\)
Interprétation
Près du sol, la pression diminue d'environ 1 hPa tous les 8 à 9 m : un smartphone équipé d'un baromètre peut détecter un changement d'étage.
2. Estimation pour le Puy de Dôme
Application numérique
\(\Delta P = 1{,}2\times9{,}8\times1{,}1\times10^{3} \approx 1{,}3\times10^{4}\ \text{Pa}\)
Résultat
Diminution estimée : environ 130 hPa.
3. Validité du modèle
Raisonnement
L'air devient moins dense en altitude : chaque mètre gravi « retire » une colonne d'air plus légère. La pression diminue donc de moins en moins vite.
Un liquide est quasiment incompressible : sa masse volumique reste constante, même sur de grandes profondeurs. Un gaz est compressible : sa masse volumique dépend de la pression, donc de l'altitude.
Résultat
La diminution réelle est un peu plus petite que l'estimation (le modèle à ρ constante la surestime). La loi ne s'applique à un gaz que sur des hauteurs faibles, où sa masse volumique varie peu.
Piège à éviter
Appliquer \(P = P_0 + \rho g h\) à l'atmosphère sur plusieurs kilomètres comme s'il s'agissait d'un liquide.
Exercice 10 — Défi : autonomie d'une bouteille de plongée
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Niveau 5 — défi type bacObjectif : Problème complexe : chaîne de raisonnement sur la pression (type bac)
Une bouteille de plongée de volume intérieur 12 L contient de l'air à la pression (absolue) de 200 bar. Le détendeur fournit au plongeur de l'air à la pression de l'eau qui l'entoure. Le plongeur respire 20 L d'air par minute, volume mesuré à la pression ambiante. Par sécurité, il doit remonter quand la pression de la bouteille descend à 50 bar. La température est supposée constante.
Calculer la pression de l'eau à 20 m de profondeur, en bar.
Quel volume occuperait l'air utilisable (de 200 bar à 50 bar) s'il était détendu à la pression de 20 m de profondeur ? On pourra raisonner sur le produit \(P\times V\) de l'air qui quitte la bouteille.
En déduire la durée de plongée possible à 20 m.
Comparer avec la durée possible à 5 m de profondeur. Expliquer pourquoi l'autonomie dépend de la profondeur.
L'air qui sort de la bouteille correspond à une « quantité » \((200-50)\ \text{bar}\times12\ \text{L}\).
Cet air, détendu à la pression \(P\), occupe un volume \(V\) tel que \(P\times V = 1800\ \text{bar·L}\).
Le volume qu'occupe, à 3,03 bar, l'air qui sort de la bouteille quand sa pression passe de 200 à 50 bar.
Raisonnement
À température constante, l'air sortant conserve son produit \(P\times V\) (loi de Mariotte) : dans la bouteille, il « représente » \((200-50)\times12\ \text{bar·L}\) ; détendu à la pression \(P\), il occupe \(V\) tel que \(P\,V = 1800\ \text{bar·L}\).
L'autonomie est environ deux fois plus longue à 5 m qu'à 20 m.
Interprétation
En profondeur, chaque inspiration de 20 L prélève davantage d'air dans la bouteille, car cet air est plus comprimé : la bouteille se vide plus vite. C'est pourquoi les plongeurs surveillent leur manomètre d'autant plus qu'ils sont profonds.
Piège à éviter
Oublier la réserve de 50 bar, ou calculer avec la pression en surface au lieu de la pression à la profondeur de plongée.
Et maintenant ?
Quand tu réussis les exercices 1 à 8 sans aide, teste-toi dans les conditions d'un contrôle avec l'évaluation chronométrée. Pour revoir une notion, retourne au cours.